浙江省舟山市定海区舟山中学2019届高三数学三模考试试题（含解析）.docx

浙江省舟山市定海区舟山中学2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，共40分1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得不等式的解集，得到集合，求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案【详解】由题意，不等式，解得，所以，所以，所以故选D【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合M，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.双曲线的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将双曲线化成标准方程，可得，即可得焦点坐标【详解】将双曲线化成标准方程为： ，得，所以 ，所以 ，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为 故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题3.已知为虚数单位，设，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接对复数进行化简，求得，得出结果.【详解】复数，在复平面中对应的点为（2，-2）在第四象限故选D【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.4.一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，最大面积是（ ）A. 2B. C. D. 4【答案】C【解析】【分析】如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAB2即可得出结果【详解】解：如图所示，由三视图可知：该几何体是四棱锥PABCD截去三棱锥PABD后得到的三棱锥PBCD其中四棱锥中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，且PAAB2，最大面为PBD，故选：C【点睛】本题考查了三视图、空间位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，可排除B,D,当时，故排除C所以答案为A考点：函数的图像6. 下面四个命题中正确的是：（ ）A. “直线不相交”是“直线为异面直线”的充分非必要条件B. “平面”是“直线垂直于平面内无数条直线”的充要条件C. “垂直于在平面内的射影”是“直线”的充分非必要条件D. “直线平行于平面内的一条直线”是“直线平面”的必要非充分条件【答案】D【解析】考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断。分析：根据平行线与异面线的定义判断出A错；据直线与平面垂直的判定定理判断出B错；根据两直线射影垂直两直线不一定垂直判断出C错；据直线与平面平行的性质定理判断出D正确。解答：对于A，“直线a、b不相交”时，“直线a、b为异面直线或平行直线”，故A错；对于B，“l平面”能推出“直线l垂直于平面内无数条直线”，反之“直线l垂直于平面内无数条直线”推不出“l平面”所以“l平面”是“直线l垂直于平面内无数条直线”的充分不必要条件，故B错；对于C，“a垂直于b在平面内的射影”时，则有“直线ab或a，b斜交”，故C错；对于D，当“直线a平行于平面内的一条直线”时，若a在面内，则推不出“直线a平面”；反之若“直线a平面”，则有经过a作一平面与已知平面相交，则a平行于交线，所以D正确；故选D。点评：本题考查直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定，属于基础题。7.已知随机变量满足，若，则（ ）A. 随着的增大而增大，随着的增大而增大B. 随着的增大而减小，随着的增大而增大C. 随着的增大而减小，随着的增大而减小D. 随着的增大而增大，随着的增大而减小【答案】C【解析】 随机变量满足， 随着的增大而减小，随着的增大而减小故选C8.在长方体中，底面是边长为3的正方形，侧棱为矩形内部（含边界）一点，为中点，为空间任一点，三棱锥的体积的最大值记为，则关于函数，下列结论确的是（ ）A. 为奇函数B. 在上单调递增；C. D. 【答案】D【解析】分析：先根据得P点轨迹为圆在矩形内部（含边界）的圆弧，可得P到CD最大距离，再根据锥体体积公式可得，根据函数表达式可判断选择.详解：因为，所以 ,即，当P在CC1上时取最大值，因此，因此，不为奇函数，在上单调递增，所以选D.点睛：立体几何中体积最值问题，先根据几何体体积公式建立函数关系式，再根据条件将函数转化为一元函数问题，最后根据函数形式，根据基本不等式或利用导数求最值.9.已知，为平面上三个不共线的定点，平面上点满足（是实数），且是单位向量，则这样的点有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个【答案】C【解析】【分析】本题首先可以设出三点的坐标，然后通过表示出点的坐标并利用点坐标与是单位向量得出关于的方程，最后通过判断方程解的个数即可得出的位置个数。【详解】以为原点建立坐标系，设、，则，因为，所以，所以所以所以，因为是单位向量，所以因为为平面上三个不共线的三点，所以，显然有两解，故满足条件的有两个，故选C。【点睛】本题考查了向量的相关性质，主要考查了向量的坐标表示、向量的运算、单位向量的相关性质，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是难题。10.等差数列，满足，则（）A. 的最大值是50B. 的最小值是50C. 的最大值是51D. 的最小值是51【答案】A【解析】【分析】先根据题意可知中的项有正有负，不妨设，根据题意可求得，根据，去绝对值求和，即可求出结果.【详解】时，满足条件，所以满足条件，即最小值为2，舍去B,D.要使得取最大值，则项数为偶数，设，等差数列的公差为，首项为，不妨设，则，且，由可得，所以,因为，所以，所以，而，所以，故.故选A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及通项公式等即可，属于常考题型.二、填空题：本大题共7小题，共36分11.函数，则_；的值域为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据分段函数的对应法则由里及外，即可得到的值，由指数函数与二次函数的图象与性质即可得到函数的值域.【详解】解：函数，；当时，当时，的值域为故答案为：，【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，考查指数函数与二次函数的图像与性质，考查对应法则的理解，以及基本函数值域的求法，属于基础题.12.设变量满足约束条件，则的最小值为_；的最大值为_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】作出不等式组对应的可行域，结合式子的几何意义，数形结合即可得到结果.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得令，由图可知，当直线过时，有最小值为1；由的几何意义，即可行域内动点与定点连线的斜率，可得的最大值为故答案为：1；【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法13.在中，则_；若是上一点且，则的面积为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】由题意可得，利用正弦定理可知，进而可得，从而可得，再结合面积公式可得结果.【详解】解：由已知可得，在中，可得：，可得：，在中，可得，可得：，可得：，故答案为：，【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题14.二项式的展开式中的系数为_；系数最大的项为_【答案】 (1). 160 (2). 【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式，求得展开式中x2的系数，再根据二项式系数的性质，求出系数最大的项【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为第项的系数为，要使该项的系数最大，应为偶数，经过检验，时，该项的系数最大，为240，故系数最大的项为，故答案为：160；【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15.若正实数、满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】通过表示出，再结合可得，这样问题转化为已知，求的最小值即可，由“1”的代换可得【详解】由，解得，【点睛】本题考查用基本不等式求最值问题，考查换元代入的思想。难度中等。16.在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为_【答案】60【解析】若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种；若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，方法有种.所有的出场顺序的排法种数为.故答案为.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法.17.已知抛物线的焦点为，过作直线交于两点，过分别向的准线作垂线，垂足为，已知与的面积分别为9和1，则的面积为_【答案】6【解析】【分析】设设，直线，联立直线方程和抛物线方程可得，从而，用表示，用表示（该值为9），化简后得到的值.【详解】设直线，由可得，整理得到：，设，则，故，又，整理得到即，故，而，填6.【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可解求值问题.三、解答题：本大题有5小题，共74分18.已知函数（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）将图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的图象若在内是单调函数，求实数的最大值【答案】（1）最小正周期，减区间为k+，k+，kZ（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性求得f（x）的最小正周期和单调递减区间（2）利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得m的最大值【详解】（1）依题意，得函数f（x）4cosxsin（x）14cosx（sinxcosx）1sin2x+2cos2x12（sin2xcos2x）2sin（2x）它的最小正周期为令2k2x2k，求得kxk，故函数的减区间为k，k，kZ（2）将yf（x）图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到yg（x）2sin（2x）的图象若g（x）在（0，m）内是单调函数，则g（x）在（0，m）内是单调增函数，2m，求得m，故m的最大值为【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的周期性和单调性，属于中档题19.如图所示多面体，其底面为矩形且，四边形为平行四边形，点在底面内的投影恰好是的中点(1）已知为线段的中点，证明：平面；（2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连结交于，连结由三角形中位线定理可得，可得平面，可证明平面，从而平面平行于平面平面；（2）以的中点为原点，以、的垂直平分线、为坐标轴，建立如空间直角坐标系，设，求出平面的法向量与平面的法向量，由二面角大小为，利用空间向量夹角余弦公式求出，求出的坐标，由夹角公式可得结果.【详解】（1）连结交于，连结为的中位线，平面，而平面平面.又知平面平面平面，相交，由它们确定的平面平行于平面平面平面.（2）以的中点为原点，以的垂直平分线、为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，其余各点分别是：，所以又设平面的法向量为.由令，得易得平面的法向量为因为二面角大小为.所以由，解得. 且 故直线与平面所成角的正弦为.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，利用空间向量求二面角与线面角，属于综合题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.设等比数列的前项和为；数列满足（，）（1）求数列的通项公式；（2）试确定的值，使得数列为等差数列；在结论下，若对每个正整数，在与之间插入个2，符到一个数列设是数列的前项和，试求满足的所有正整数【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）求出数列的首项和公比，即可求数列的通项公式；（2）求出数列的前几项，根据等差数列的性质建立方程即可求出；讨论的取值，根据的关系进行求解即可详解：（1）当时，则公比，则 （2）当时，得 时，得；时，得，则由，得 而当时，由得 由，知此时数列为等差数列 由题意知，则当时，不合题意，舍去；当时，所以成立； 当时，若，则，不合题意，舍去；从而必是数列中的某一项，则：又，所以 ，即，所以因为奇数，而为偶数，所以上式无解即当时， 综上所述，满足题意的正整数仅有点睛：本题主要考查等比数列和等差数列综合应用，考查学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度21.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点，点在第四象限，为左顶点，为上顶点，交轴于点，交轴于点 （1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值【答案】（1）； （2） .【解析】【分析】（1）由条件可得，从而可解得椭圆方程；（2）设P（m，n），m0，n0，PA：，PB：，可得C（0，），D（），得，可设，可得，令,1，从而可得最值.详解】（1）由已知得，点（，）代入1可得代入点（，）解得b21，a=2椭圆C的标准方程：（2）可得A（2，0），B（0，1）设P（m，n），m0，n0，且.PA