2.4.1抛物线及其标准方程.ppt

导入新课 观察与分析 在我们生活中存在各式各样的抛物线 这些抛物线有怎样的几何特征呢 它的标准方程又是什么呢 这就是我们接下来要学习的内容 教学目标 知识与能力 使学生掌握抛物线的定义 抛物线的标准方程及其推导过程 提高学生概括 转化等方面的能力 过程与方法 情感态度与价值观 培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美 培养学生观察 实验 探究与交流的数学活动能力 注重数形结合 掌握解析法研究几何问题的一般方法 注重探索能力的培养 教学重难点 重点 难点 抛物线定义的理解及标准方程的推导 标准方程的推导 你会画抛物线吗 一起来看看吧 我们可以发现 点P随着C的运动过程中 始终有 PF PC 即定点P与定点F和定直线l的距离相等 如图2 4 1 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 parabola 点F叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 即 1 则P的轨迹是抛物线 想一想 设焦点到准线的距离为常数P P 0 如何建立坐标系 求出抛物线的标准方程呢 如图2 4 2 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴 线段KF的中垂线为y轴 设 KF p p 0 因为抛物线的顶点是KF的中点 所以焦点F的坐标为 0 准线方程为x 设动点M的坐标为 x y 点M到直线l的距离为d 由抛物线的定义 抛物线就是点的集合 P M MF d 因为 MF d x 所以 x 将上式两边平方并化简 得y2 2px p 0 从上述可知 抛物线上任意一点的坐标都满足方程y2 2px p 0 以方程y2 2px p 0 的解为坐标的点都在抛物线上 我们把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 此抛物线的焦点坐标为 0 准线方程为x 其中 p是抛物线的焦点到准线的距离 所以p的值永远大于0 方程y2 2px p 0 表示的抛物线 其焦点位于x轴的正半轴上 其准线交于x轴的负半轴即右焦点F 0 左准线l x 如图2 4 3所示 但是 对于一条抛物线 它在坐标平面内的位置可以不同 所以建立的坐标系也不同 所得抛物线的方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 想一想 抛物线的标准方程还有哪些形式 其它形式的抛物线的焦点与准线呢 让我们一起看看下面的表格吧 你能说明二次函数y ax2 a 0 的图像为什么是抛物线吗 它的焦点坐标 准线方程又是怎样的呢 分析 我们可以把y ax2写成标准形式x2 y 这个方程表示的就是抛物线 它的焦点坐标为 0 准线方程为y 1 已知抛物线的标准方程是y2 20 x 求它的焦点坐标和准线方程 解 1 因为p 10 所以抛物线的焦点坐标是 5 0 准线方程x 5 2 已知抛物线的方程式x2 8y 0 求它的焦点坐标和准线方程 2 将方程x2 8y 0化成标准方程为x2 8y 所以p 4 所以抛物线的焦点坐标为 0 2 准线方程y 2 已知抛物线的焦点是F 2 0 求它的标准方程 解 因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上 且 2 p 4 所以 所求抛物线的标准方程为y2 8x 课堂小结 把平面内与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 parabola 点F叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 1 抛物线 2 四种形式的抛物线 高考链接 1 2008四川文 已知双曲线C 的左右焦点分别为F1 F2 P为C的右支上一点 且 PF2 F1F2 则 PF1F2的面积等于 24 36 48 96 C 继续解答 解 双曲线中 a 3 b 4 c 5 F1 5 0 F2 5 0 PF2 F1F2 PF1 2a PF2 6 10 16 作PF1边上的高AF2 则AF1 8 PF1F2的面积为 AF2 6 PF1 PF2 16 6 48故选C 2 2008湖北文 已知双曲线C a 0 b 0 的两个焦点为F 2 0 F 2 0 点P 3 的曲线C上 求双曲线C的方程 记O为坐标原点 过点Q 0 2 的直线l与双曲线C相交于不同的两点E F 若 OEF的面积为 求直线l的方程 继续解答 解 依题意 由a2 b2 4 得双曲线方程为 0 a2 4 将点 3 代入上式 得 解得a2 18 舍去 或a2 2 故所求双曲线方程为 依题意 可设直线l的方程为y kx 2 代入双曲线C的方程并整理 得 1 k2 x2 4kx 6 0 直线I与双曲线C相交于不同的两点E F 继续解答 k 1 设E x1 y1 F x2 y2 则由 式得x1 x2 于是 EF 继续解答 而原点O到直线l的距离d S OEF 继续解答 若S OEF 即 解得k 满足 故满足条件的直线l有两条 其方程分别为y x 2和y x 2 3 2008四川理 已知抛物线C y2 8x的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在C上且 则 AFK的面积为 A 4B 8C 16D 32 B 解 抛物线C y2 8x的焦点F 2 0 准线为x 2 K 2 0 设A x0 y0 过点A向准线作垂线AB 则B 2 y0 又AF AB x0 2 x0 2 继续解答 由BK2 AK2 AB2得y02 x0 2 2 即8x0 x0 2 2 解得A 2 4 AFK的面积为 故选B 随堂练习 1 填空题 1 动点P到直线x 4 0的距离减它M 2 0 的距离之差等于2 则P的轨迹是 其方程为 抛物线 y2 8x 2 两定点A 2 1 B 2 1 动点P在抛物线y x2上移动 则重心G的轨迹方程为 2 选择题 D 2 抛物线y x2上有A B C三点横坐标依次为 1 2 3在y轴一点D纵坐标为6 则四边形ABCD为 A 正方形B 菱形C 平行四边形D 任意四边形 C 3 解答题 1 A 4 1 为抛物线y2 6x内一点过A作直线l交抛物线于P Q A恰为PQ中点求l的方程 解 设A x1 y1 B x2 y2 在直线l上 y1 y2 y1 y2 6 x1 x2 直线l的方程为 y 1 3 x 4 即 3x y 11 0 继续解答 2 抛物线y 与过点M 0 1 的直线l相交与A B两点 O为原点 若OA何OB的斜率之和为1 求直线l的方程 解 显然直线l垂直于x轴不符合题意 故设所求的直线方程为y kx 1 代入抛物线方程化简 得x2 2kx 2 0 由根的判别式 4k2 8 4 k2 2 0 于是有k R 设点A的坐标为 x1 y1 点B的坐标为 x2 y2 则 3 求过点A 3 2 的抛物线的标准方程 解 1 设抛物线的标准方程为x2 2py 把A 3 2 代入 得p 2 设抛物线的标准方程为y2 2px 把A 3 2 代入 得p 抛物线的标准方程为x2 y或y2 x 继续解答 因为y1 kx1 1 y2 kx2 1 代入 得2k 1 又因为x1 x2 2k x1x2 2 代入 的k 1 所以直线l的方程为y x 1 习题解答 1 1 y2 12x 2 y2 x 3 y2 4x y2 4x