云南省剑川县马登镇初级中学九年级数学上册 22.1.1 二次函数复习题1（无答案）（新版）新人教版.doc

二次函数知识梳理一、二次函数的概念一般地，形如y_(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数二次函数的两种形式：(1)一般形式：_；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是_二、二次函数的图象及性质二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x直线x顶点坐标增减性当x时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小最值当x时，y有最_值当x时，y有最_值三、二次函数图象的特征与a，b，c及b24ac的符号之间的关系四、二次函数图象的平移抛物线yax2与ya(xh)2，yax2k，ya(xh)2k中|a|相同，则图象的_和大小都相同，只是位置不同它们之间的平移关系如下：五、二次函数关系式的确定1设一般式：yax2bxc(a0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值2设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式3设顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式六、二次函数与一元二次方程的关系1二次函数yax2bxc(a0)，当y0时，就变成了ax2bxc0(a0)2ax2bxc0(a0)的解是抛物线与x轴交点的_3当b24ac0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当b24ac0时，抛物线与x轴有一个交点；当b24ac0时，抛物线与x轴没有交点4设抛物线yax2bxc与x轴两交点坐标分别为a(x1,0)，b(x2,0)，则x1x2_，x1x2_.自主测试1下列二次函数中，图象以直线x2为对称轴，且经过点(0,1)的是()ay(x2)21 by(x2)21cy(x2)23 dy(x2)232如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四个结论：(1)b24ac0；(2)c1；(3)2ab0；(4)abc0.你认为其中错误的有()a2个 b3个c4个 d1个3当m_时，函数y(m3)xm274是二次函数4将抛物线yx2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为_5写出一个开口向下的二次函数的表达式：_.考点一、二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是()a(1,8) b(1,8)c(1,2) d(1，4)(2)已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且经过点(1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1_y2.(填“”“”或“”)解析：(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求1，8，二次函数y3x26x5的图象的顶点坐标是(1,8)故选a.(2)点(1，y1)，(2，y2)不在对称轴的同一侧，不能直接利用二次函数的增减性来判断y1，y2的大小，可先根据抛物线关于对称轴的对称性，然后再用二次函数的增减性即可设抛物线经过点(0，y3)，抛物线对称轴为直线x1，点(0，y3)与点(2，y2)关于直线x1对称y3y2.a0，当x1时，y随x的增大而减小y1y3.y1y2.答案：(1)a(2)方法总结 1将抛物线解析式写成ya(xh)2k的形式，则顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh，也可应用对称轴公式x，顶点坐标来求对称轴及顶点坐标2比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断触类旁通1 已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，则下列结论中正确的是()aa0b当x1时，y随x的增大而增大cc0d3是方程ax2bxc0的一个根考点二、利用二次函数图象判断a，b，c的符号【例2】如图，是二次函数yax2bxc(a0)的图象的一部分，给出下列命题：abc0；b2a；ax2bxc0的两根分别为3和1；a2bc0.其中正确的命题是_(只要求填写正确命题的序号)解析：由图象可知过(1,0)，代入得到abc0；根据1，推出b2a；根据图象关于对称轴对称，得出与x轴的交点是(3,0)，(1,0)；由a2bca2bab3b0，根据结论判断即可答案：方法总结 根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b24ac决定抛物线与x轴的交点情况当x1时，决定abc的符号，当x1时，决定abc的符号在此基础上，还可推出其他代数式的符号运用数形结合的思想更直观、更简捷触类旁通2 小明从如图的二次函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五个结论：c0；abc0；abc0；2a3b0；c4b0，你认为其中正确的结论有()a2个 b3个c4个 d5个考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y2x24x1的图象怎样平移得到y2x2的图象()a向左平移1个单位，再向上平移3个单位b向右平移1个单位，再向上平移3个单位c向左平移1个单位，再向下平移3个单位d向右平移1个单位，再向下平移3个单位解析：首先将二次函数的解析式配方化为顶点式，然后确定如何平移，即y2x24x12(x1)23，将该函数图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位就得到y2x2的图象答案：c方法总结 二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作触类旁通3 将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是()ay(x1)22 by(x1)22cy(x1)22 dy(x1)22考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形abcd是菱形，点d的坐标是(0，)，以点c为顶点的抛物线yax2bxc恰好经过x轴上a，b两点(1)求a，b，c三点的坐标；(2)求经过a，b，c三点的抛物线的解析式解：(1)由抛物线的对称性可知aebe.aodbec.oaebea.设菱形的边长为2m，在rtaod中，m2()2(2m)2，解得m1.dc2，oa1，ob3.a，b，c三点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(2，)(2)解法一：设抛物线的解析式为ya(x2)2，代入a的坐标(1,0)，得a.抛物线的解析式为y(x2)2.解法二：设这个抛物线的解析式为yax2bxc，由已知抛物线经过a(1,0)，b(3,0)，c(2，)三点，得解这个方程组，得抛物线的解析式为yx24x3.方法总结 用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式触类旁通4 已知抛物线yx2(6)xm3与x轴有a，b两个交点，且a，b两点关于y轴对称(1)求m的值；(2)写出抛物线的关系式及顶点坐标考点五、二次函数的实际应用【例5】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润p(x60)241(万元)当地政府拟在“十二五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润q(100x)2(100x)160(万元)(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少；(3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x60时，p最大且为41万元，故五年获利最大值是415205(万元)(2)前两年：0x50，此时因为p随x的增大而增大，所以x50时，p值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40280(万元)后三年：设每年获利为y万元，当地投资额为x万元，则外地投资额为(100x)万元，所以ypqx260x165(x30)21 065，表明x30时，y最大且为1 065，那么三年获利最大为1 06533 195(万元)，故五年获利最大值为803 1955023 175(万元)(3)有极大的实施价值方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围2在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值触类旁通5 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年