【步步高】高考数学第一轮复习（典型题+详解）专题一 高考中的导数应用问题文档强练 文 新人教A版(1).DOC

专题一高考中的导数应用问题1函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()a(，2) b(0,3) c(1,4) d(2，)答案d解析函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)ex1ex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.2若函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()a(0,1) b(，1)c(0，) d.答案d解析f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f(x)3x26b，由题意，得函数f(x)的草图如图，即解得0b0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)的单调递增区间为(，1)，(0，)，单调递减区间为(1,0)(2)f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，g(x)exa.若a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.若a1，则当x(0，ln a)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，ln a)时，g(x)0，即f(x)0或f(x)0)上的最小值；(2)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立思维启迪(1)求f(x)，讨论参数t求最小值；(2)分离a，利用求最值得a的范围；(3)寻求所证不等式和题中函数f(x)的联系，充分利用(1)中所求最值解(1)由f(x)xln x，x0，得f(x)ln x1，令f(x)0，得x.当x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2，即0t时，f(x)minf()；当t0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4，对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4.(3)问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f(x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到，设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(0，)，都有ln x成立思维升华(1)恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解，若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解(2)证明不等式，可以转化为求函数的最值问题已知函数f(x)sin x(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中的最小值时，求证：g(x)f(x)x3.(1)解令h(x)sin xax(x0)，则h(x)cos xa.若a1，h(x)cos xa0，h(x)sin xax(x0)单调递减，h(x)h(0)0，则sin xax(x0)成立若0a0，h(x)sin xax(x(0，x0)单调递增，h(x)h(0)0，不合题意，结合f(x)与g(x)的图象可知a0显然不合题意，综上可知，a1.(2)证明当a取(1)中的最小值1时，g(x)f(x)xsin x.设h(x)xsin xx3(x0)，则h(x)1cos xx2.令g(x)1cos xx2，则g(x)sin xx0(x0)，所以g(x)1cos xx2在0，)上单调递减，此时g(x)1cos xx2g(0)0，即h(x)1cos xx20，所以h(x)xsin xx3(x0)单调递减所以h(x)xsin xx3h(0)0，即xsin xx30(x0)，即xsin xx3(x0)所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)f(x)x3.题型三利用导数研究方程解或图象交点问题例3已知f(x)ax2 (ar)，g(x)2ln x.(1)讨论函数f(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不等解，求a的取值范围思维启迪(1)通过讨论a确定f(x)的符号；(2)将方程f(x)g(x)变形为a，研究(x)图象的大致形状解(1)f(x)ax22ln x，其定义域为(0，)，f(x)2ax (x0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减当a0时，f(x)0)恒成立故当a0时，f(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()(x)min(e)，如图当f(x)g(x)在，e上有两个不等解时有(x)min，故a的取值范围为a0)(1)若a1，f(x)在(0，)上是单调增函数，求b的取值范围；(2)若a2，b1，求方程f(x)在(0,1上解的个数解(1)f(x)|x2|bln x当0x2时，f(x)x2bln x，f(x)1.由条件，得10恒成立，即bx恒成立b2.当x2时，f(x)x2bln x，f(x)1，由条件，得10恒成立，即bx恒成立b2.综合，得b的取值范围是b|b2(2)令g(x)|ax2|ln x，即g(x)当0x时，g(x)ax2ln x，g(x)a.0x.则g(x)a0.即g(x)0，g(x)在(0，)上是递增函数当x时，g(x)ax2ln x，g(x)a0.g(x)在(，)上是递增函数又因为函数g(x)在x有意义，g(x)在(0，)上是递增函数g()ln ，而a2，ln 0，则g()0.a2，g(1)a3.当a3时，g(1)a30，g(x)0在(0,1上解的个数为1.当2a3时，g(1)a30，g(x)0在(0,1上无解，即解的个数为0.1已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，br)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解(1)由题意得f(x)3ax22xb，因此g(x)f(x)f(x)ax3(3a1)x2(b2)xb.因为函数g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即对任意实数x，有a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而3a10，b0，解得a，b0，因此f(x)的表达式为f(x)x3x2.(2)由(1)知g(x)x32x，所以g(x)x22.令g(x)0，解得x1，x2，则当x时，g(x)0，从而g(x)在区间(， )，(，)上是减函数；当x0，从而g(x)在区间(，)上是增函数由上述讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x1，2时取得，而g(1)，g()，g(2)，因此g(x)在区间1,2上的最大值为g()，最小值g(2).2已知函数f(x)axxln x的图象在点xe(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若kz，且k1恒成立，求k的最大值解(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1.因为函数f(x)axxln x的图象在点xe处的切线斜率为3，所以f(e)3，即aln e13，所以a1.(2)由(1)知，f(x)xxln x，又k1恒成立，即k1恒成立令g(x)，则g(x)，令h(x)xln x2(x1)，则h(x)10，所以函数h(x)在(1，)上单调递增因为h(3)1ln 30，所以方程h(x)0在(1，)上存在唯一实根x0，且满足x0(3,4)当1xx0时，h(x)0，即g(x)x0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以g(x)ming(x0)x0(3,4)，所以kg(x)minx0(3,4)，故整数k的最大值为3.3设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解(1)若a0，f(x)ex1x，f(x)ex1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立，故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)f(x)在0，)上单调递增而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，令ex(ex1)(ex2a)0得1ex2a，0xln 2a.故当x(0，ln 2a)时，f(x)0，f(x)在(0，ln 2a)上单调递减而f(0)0，于是当x(0，ln 2a)时，f(x)0.不符合要求综上可得a的取值范围为(，4已知f(x)x23x1，g(x)x.(1)a2时，求yf(x)和yg(x)的公共点个数；(2)a为何值时，yf(x)和yg(x)的公共点个数恰为两个解(1)由得x23x1x，整理得x3x2x20(x1)令yx3x2x2，求导得y3x22x1，令y0，得x11，x2，故得极值点分别在1和处取得，且极大值、极小值都是负值故公共点只有一个(2)由得x23x1x，整理得ax3x2x(x1)，令h(x)x3x2x，联立如图，求导h(x)可以得到极值点分别在1和处，画出草图，h(1)1，h()，当ah(1)1时，ya与yh(x)仅有一个公共点(因为(1,1)点不在yh(x)曲线上)，故a时恰有两个公共点5定义在r上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数；f(x)是偶函数；f(x)的图象在x0处的切线与直线yx2垂直(1)求函数yf(x)的解析式；(2)设g(x)4ln xm，若存在x1，e，使g(x)f(x)，求实数m的取值范围解(1)f(x)3ax22bxc.f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，)上是增函数，f(1)3a2bc0，(*)由f(x)是偶函数得b0，又f(x)的图象在x0处的切线与直线yx2垂直，f(0)c1，将代入(*)得a，f(x)x3x3.(2)由已知得，若存在x1，e，使4ln xm(4ln xx21)min.设m(x)4ln xx21，x1，e，则m(x)2x，令m(x)0，x1，e，x.当xe时，m(x)0，m(x)在1，上为增函数，m(x)在1，e上有最大值且在x处取到又m(1)0，m(e)5e25e2.6(2013湖南)已知a0，函数f(x).(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式；(2)是否存在a，使函数yf(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)当0xa时，f(x)；当xa时，f(x).因此，当x(0，a)时，f(x)0，f(x)在(a，)上单调递增若a4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)f(0).若0a4，则f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)上单调递增所以g(a)maxf(0)，f(4)而f(0)f(4)，故当0a1时，g(a)f(4)；当1a4时，g(a)f(0).综上所述，g(a)(2)由(1)知，当a4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求当0a4时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,4)