矢量与张量.doc

1 向量代数1.1 向量的定义 从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成 (1.1)设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为 （1.2）由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵 (1.3)将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出 （1.4） 向量 在新坐标系 中的分解记为 (1.5)将(1.4)代入(1.1),得到 (1.6)公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成 (1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成 (1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成 (1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成 (1.10) (1.11)将(1.11)代入(1.8)，得 (1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法， (1.13)今引入Kronecker记号 ， (1.14)例如 。应用 ，单位向量之间的内积可写成 (1.15) 向量 和向量 之间的内积可写成 (1.16)上式中最后一个等号是因为只有 时， 才不等于零，在这里 的作用似乎是将 换成了 ，因而也称 为“换标记号”。再引入Levi-Civita记号 ， (1.17)其中 分别取1，2，3中的某一个值。例如 ， ，。利用 ，向量之间的外积可写为 (1.18) (1.19)1.3 与 之间的关系Kronecker记号 与Levi-Civita记号 之间有如下关系 (1.20) 证明1 穷举法，先列出 所有可能的81种取值情况， 情形 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 然后逐个情形证明,例如，情形1， ，故此情形(1.20)成立，。 证明2 我们有双重外积公式 (1.21)将 代入(1.21)左右两边，得到将上述两式代入(1.21)两边，移项，得 (1.22)由于 的任意性，从(1.22)即得欲证之(1.20)式。证明3 利用Lagrange公式 (1.23)按证明2 类似的步骤，从(1.23)可导出(1.20)。证明4 从(1.18)和向量混合乘积的行列式表示，有 (1.24)其中 分别为向量 在 中的坐标。按行列式的乘积法则，有 (1.25)其中第二个等式应用了 等关系。将(1.25)最后一个行列式展开，得 (1.26)注意到 ，以及换标记号 和 的意义，从（1.26）即得(1.20)。证毕。2 张量代数 2.1 张量的定义设 (2.1)其中 称为并矢基,它们共有9个, (2.2)在坐标变换(1.11)之下,(2.1)成为 (2.3)于是 (2.4)从(2.4)可引出张量的定义：一个二阶有序数组 ，在坐标变换下，关于变换系数 为二次齐次式，则称 为张量，也记作 。 为其指标记号， 为其整体记号。张量 在并矢基 下的9个分量，有一个矩阵 与之对应，记作 (2.5)同一个张量 在另一组并矢基 下所对应的矩阵为 ， (2.6)按(2.4)可知，张量在不同坐标系下所对应的矩阵服从矩阵的合同变换， (2.7)其中 为坐标变换矩阵（1.3）。 附注：上述张量的定义可以推广：一个 阶有序数组 ,在坐标变换(1.10)下,若服从 的 次齐次式， (2.8)则称之为 阶张量。按照这种定义，标量可认为是零阶张量，向量可认为是一阶张量，(.1）所述的张量为二阶张量，也可证明Levi-Civita记号 为三阶张量。(2.8)式中的下标 和 取值范围也可不必限于从到，也可从到 ，那么(2.8)式所定义的张量称为 维空间中的 阶张量。本书所述张量，以后如不作说明均为三维二阶张量。2.2 张量的运算张量 与张量 的和与差记为 ， (2.9) 张量 的转置记为 ， (2.10)不难验证， 和 也是张量。例如， (2.11) 一个张量 称为对称张量，如果 (2.12)与对称张量 所对应的矩阵 为对称矩阵。 一个张量 称为反对称张量，如果 (2.13)与反对称张量 所对应的矩阵 为反对称矩阵，我们将反对称矩阵 记成 (2.14)从(2.14)可以得出， (2.15) (2.16)不难验证，由(2.16)所定义的 为向量，它称为相应于反对称张量 的轴向量。 由于所以 (2.17)为一张量，称之为单位张量。张量 的迹定义为 (2.18) 2.3 张量与向量之间的运算张量 与向量 有左右两种内积， (2.19) (2.20)从(2.19) (2.19)，可得左右两种内积之间有关系式 (2.21)如果 为反对称张量，由(2.19) (2.15),得 (2.22)张量 与向量 有左右两种外积， (2.23) (2.24)张量 与两个向量 和 之间有四种运算， 2.4 张量与张量之间的运算两个张量 与 之间的内积和外积如下两个张量 与 之间有四种双重运算对于双重运算，先将外层的两个基 和 按下面的符号进行运算，再将内层的两个基 和 按上面的符号进行运算。从双重运算可得两个有用的公式， (2.25) (2.26)此外，尚有关系式 (2.27) (2.28)利用(2.25)(2.26),能得到两个有