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层次分析法建模 层次结构简介层次分析法的基本思路几个基本概念建模实例分析层次分析法的若干问题 返回主目录 层次结构简介 返回主目录 层次分析法 AnalyticHierarchyProcess 自上世纪70年代由ThomasL Saaty正式提出之后 由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性 很快在世界范围内得到普遍的重视和广泛应用 其主要功能是决策 评价 分析 预测等 层次分析法的基本思路 返回主目录 第一步 建立层次结构模型 深入分析实际问题 将问题中各因素分层归类 确定三个层次 上 中 下三层 上层为目标层通常只有一个因素 中间层可以是一层或几层 通常称为准则层或指标层 下层是方案或对象层 注意中间层多于9个时应分出子准则层 返回主目录 第二步 构造互反成对比较矩阵 从层次结构模型的第2层开始 对于从属于 或影响及 上一层每个因素的同一层诸因素 用成对比较法和1 9比较尺度构造互反成对比较矩阵 直到最下层 返回主目录 第三步 计算权向量并做一致性检验 对每一个成对比较阵计算最大特征值及对应特征向量 并利用一致性指标 随机一致性指标和一致性比率做一致性检验 若检验通过 归一化后的特征向量即为权向量 若不通过 需要重新构造成对比较阵 返回主目录 第四步 计算组合权向量并做组合一致性检验 首先计算最下层对目标的组合权向量 并做组合一致性检验 若检验通过 则可按组合权向量表示的结果进行决策 否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率较大的成对比较阵 返回主目录 几个基本概念 1 成对比较矩阵和权向量 如果我们按照 个物体的相对重量进行成对比较 用A1 An表示这些物体 表示相应的物体的重量 则成对比较可用基础比例 假定存在 矩阵表示如下 称为互反成对比较矩阵 返回主目录 几个基本概念 一般地 如果一个正互反阵A满足 则A称为一致性矩阵 简称一致阵 一致阵有两个重要性质 其一 它的秩为1 唯一非零特征根为 其二 它的任一列 行 向量都是对应于特征根n的特征向量 这一特征向量归一化后称为下层因素之间对上层某因素的权向量 其分量为权重 返回主目录 几个基本概念 2 比例标度 几个基本概念 3 一致性检验 定义CI 为A的一致性指标 CI 0时 A为一致阵 CI越大A的不一致性程度越严重 为了确定A的不一致程度的容许范围 引入所谓随机一致性指标RI 返回主目录 定义一致性比率CR 当CR 时认为A的不一致程度在容许范围内 并可用其特征向量作为权向量 否则要重新进行成对比较 对A加以调整 几个基本概念 对A利用CI 及CR 进行检验称为一致性检验 4 组合权向量 假设第1层只有一个因素 第2 3层分别有 个因素 以 分别记为对第2层m个因素对第1层一个因素的权向量和第3层 个因素对第2层 个因素的权向量 即 返回主目录 几个基本概念 以 为列向量构造矩阵 则第3层 对第1层的组合权向量为 返回主目录 几个基本概念 下面考虑共S层的层次结构的组合权向量计算 第一层假设为一个因素 后s 1层的每层因素不加确定 可具体问题具体分析 则第s层对第1层的组合权向量定义为 其中前s 2个均为权向量矩阵 为列向量 返回主目录 5 组合一致性检验 几个基本概念 若第P层的一致性指标为 CI CI 为第P 1层的因素数 随机一致性指标 RI RI 则 CR CR 称为第P层对第1层的组合一致性比率 其中 CI CI CI 返回主目录 几个基本概念 RI RI RI 最后 当最下层对最上层的组合一致性比率为 CR 时认为整个层次的比较判断通过一致性检验 建模实例分析 返回主目录 表1 返回主目录 建模实例分析 建立层次 整体目标 准则 决策方案 返回主目录 建模实例分析 成对比较结果 表2 返回主目录 建模实例分析 各标准的成对比较矩阵 表3 建模实例分析 返回主目录 计算各标准的优先级步骤 步骤1 计算每列的和 表4 返回主目录 建模实例分析 步骤2 将矩阵的每一项除以它所在列的总和 表5 建模实例分析 返回主目录 步骤3 计算每行的平均值以确定每个标准的优先级 表6 建模实例分析 返回主目录 各标准成对比较的一致性检验 第一步 将成对比较矩阵的第一列乘以第一项标准的优先级 将成对比较矩阵的第二列乘以第二项标准的优先级 反复如此 然后计算每行的和 表7 返回主目录 建模实例分析 第二步 将第一步得到的加权值向量除以每个标准的优先级 表8 返回主目录 建模实例分析 第三步 求第二步得到的加权值 优先级比值的平均值 第四步 计算一致性指数 第五步 计算一致性指标 其中随机一致性指标值如下 于是一致性指标为 CR 0 0616 0 90 0 068 0 1 即标准的成对比较通过了一致性检验 表9 返回主目录 建模实例分析 各标准下目标偏爱程度之间的成对比较 1 价格标准下目标偏爱程度之间的成对比较矩阵 表10 返回主目录 建模实例分析 2 MPG标准下目标偏爱程度之间的成对比较矩阵 表11 返回主目录 建模实例分析 3 舒适标准下目标偏爱程度之间的成对比较矩阵 表12 返回主目录 建模实例分析 4 样式标准下目标偏爱程度之间的成对比较矩阵 表13 返回主目录 建模实例分析 各标准下目标优先级的排名 以上各标准下目标优先级的计算与各标准的优先级的计算步骤一样 一致性检验也一样 表14 返回主目录 建模实例分析 目标优先级的综合排名 目标优先级的综合排名的具体计算方法如下 将每部车的优先级乘以相应标准的优先级 即表6的最后一列与表14的每一行的对应数值相乘再相加 即雅阁的综合优先级为 0 398 0 123 0 085 0 087 0 218 0 593 0 299 0 265 0 265土星的综合优先级为 0 398 0 32 0 085 0 274 0 218 0 341 0 299 0 656 0 421雪佛兰的