2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题.doc

2010年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分）1、选C.解：关于的方程最多有两不同的解，从而，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有有三个不同的实数解.不妨设，由于关于直线对称，必有，故.2、选D.解：根据题意，令 （1） （2） 其中 (1)得 于是有以下三种可能： I 经检验这组符合条件，此时 II III 综上所述，n只能取4.3、选A.解：对于正整数，被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，；被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，. 所以，被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个的值使能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.4、选A.解：以为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点到各面距离之和等于正四面体的高. 四面体每个面三角形的高 ，从而 ， 于是正四面体的高 .5、选B. 解：设双曲线的方程为半焦距为c，则由 解得，这表明AB轴，又易知此时，结合 解得双曲线的离心率6、选D. 解：欲使方程有实根，应有.mn123456123456如上表，适合条件的m,n共有19组，故.二、填空题（每小题9分，共54分）1、 1 .解：由 得 ，而，所以，又，故.2、 .解：不妨设 ，则由条件，于是，. 由 Cauchy不等式， ， 即 ，所以 ， 因此 的最大值为（此时）.3、10,18 .解：由条件，有 ，而 ，所以问题即求在条件下目标函数的最值. 经从图像分析可知，由得到的交点A（3，1）为的最小值，即；由得到的交点B（5，1）为的最大值，即.因此，.4、 . 解：设点，则 . 于是，所以 . 由 ，知 .故 ， 即 .5、 64 .解：令，得 . 已知等式两边同时对求导，得 .再令，由上式得.因此 .6、 160 .解：设至少经过3点的直线有条，每条上的点数从多到少依次为： 则由已知，有 .又由 知 .当时 无解； 当时 ，解得 ； 当时 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为.三、解答题（每小题20分，共60分）1、解：由，得 ，于是 . 5分从而 = =. 10分令 ，则 比较系数，得x=1,y=0。于是，因此是以为首项，为公比的等比数列. 15分从而 ，即.在上式中，令n=2009，得. 20分2、解： 连结，易知椭圆内整点在轴上有两个、满足题意.5分 分别过点、作平行于直线的两条直线、，根据三角形同底等高面积相等可知，符合条件的整点均在直线、上. 易知 ， 故直线、的解析式分别为 ， . 10分 已知是椭圆内的整点，有.分别解 与 得 ， .15分由是整点，且在直线、上，知为偶数，所以， 在 及中，分别有四个偶数. 故符合条件的整点的个数为8. 20分3、解：（1） 由 知，当时 ，说明此时原函数是增函数，无极值，所以. 5分（i）当时，原函数的变化如下表：+0-0+（极大）（极小） 从而由 得 ，所以 . 10分（ii）当时，原函数的变化如下表：+0-0+（极大）（