多元函数极值及应用--毕业论文.doc

【标题】多元函数极值及应用 【作者】黎明凤 【关键词】多元函数极值条件极值二次型正定负定 【指导老师】杨天标 【专业】数学与应用数学 【正文】引言在管理科学,经济学和许多工程、科技问题中,常常需要求一个多元函数的最大值或最小值,他们统称为最值问题。通常我们称实际问题中出现的需要求最值的函数为目标函数，该函数的自变量称为决策变量,相应的问题在数学上可称为优化问题,在经济管理科学中非常重要的运筹学。最值（最优化）问题占有较大比重。最值问题涉及工业、农业、交通运输、军事、商品经济等诸方面，与人们的生活息息相关。多元函数的最值与极值有密切的关系，所以我们通过简单的多元函数（二元、三元函数）的极值来加强对多元函数极值的应用。2.多元函数极值的求法21 多元函数极值的相关理论1.多元函数极值的定义：设：多元函数的定义域为D，如果D内存在某个点M（）的邻域满足，对于此领域内的任意一点M（）：（1）当，则称为极小值，M（）为的极小值点。（2）当，则称为极大值，M（）为极大值点。2.定理：（极值与最值的关系）假定在开区域D内有有限个极值，且在D内有最大值（最小值），则最大值（最小值）就是极值中的最大（最小）。3.定理：（极值与最值的关系）假定在闭区域A的内部有有限个极值，且在A上有最大值（最小值），则最大值（最小值）就是A内部极值和A的边界上的最值中的最大（最小）。与一元函数相似，多元函数的最值点与可能极值点有着密切联系，闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，多元函数的最值既可能在闭区域内部取得，也可能在闭区域的边界上取得，我们假定函数在闭区域D上连续，在D内可微，且只有限个驻点，这样如果函数在D内部取得最值，那么这个最值显然也是函数的极值，所以在上述假定下求得多元函数的最值可仿照一元函数求最值的方法。先求出函数在D内所有驻点，再将这些驻点处的函数值与区域D边界的最值加以比较就行了。例如:求函数f(x,y,z)在曲面g(x,y,z)=0一有界闭域D上的可能极值点，是通过比较f(x,y,z)在D上可能极值点的函数值与f(x,y,z)在D边界线上的最值得到的，特别地，对于封闭曲面g(x,y,z)=0，若f(x,y,z)在该曲面上连续，比较可能极值点的函数值，就能求得f(x,y,z)在附加条件g(x,y,z)=0下的最值。4定理：（极值与条件极值的关系）设z=f（x,y）定义在开区域D内，G（x,y）=0表示约束条件，若z=f（x,y）在M点处有极值，且该点一定在约束条件上，则F（M）也是函数z=f（x,y）在条件G（x,y）=0下的条件极值。22化多元函数的条件极值为一元、二元函数的极值1.解决这类问题的思路先利用已知条件将目标函数转化为一元函数,然后利用一元函数极值存在的必要条件=0，解这个方程求出全部驻点，然后利用该函数极值存在的充分条件判驻点是否为极值点，即是：若，则是函数的极大值点；若，则是函数的极小值点。在实际应用中如果函数只有一个驻点，而所讨论问题中又存在最值，那么函数在驻点处的函数值也即是所求最值,若驻点不只一个则需要对各个驻点的极值进行比较，取最大者为所求的最值。2.在解决将多元函数的最值问题转化为二元函数的最值问题，然后利用二元函数极值存在的必要条件，设：由其导出方程组解出驻点M，如果驻点M唯一且在实际问题中又存在最值，则驻点处的函数值便是所求问题的最值。若不唯一，就用二元函数各驻点处的函数值进行比较，最大者即为所求。解此类问题时，应注意，一般是将约束条件利用起来，减少目标函数含自变量的个数，使复杂问题简单化，当利用约束条件无法减少目标函数中自变量的个数，这个方法很明显失效。23利用极值存在的充要条件求多元函数的极值1.利用二元函数极值存在的充分条件解决这一问题，设M（）是函数的驻点，记：，则（1）若Hesse矩阵是正定矩阵，则M（）是的极小值点。（2）若Hesse矩阵是负定矩阵，则M（）是的极大值点。2.对三元函数而言，其极值存在的充分条件为：设：M（）是函数的驻点，记：记式（1-1）（1）若Hesse矩阵是正定矩阵，即是A0，|H|0则函数在点M（）处取极小值。（2）若 Hesse矩阵是负定矩阵，即是A0，|H|0函数在点M（）处取极大值。3.对于一般的多元函数它在某点 M（）上取得极值的必要条件是：由些可以得到可能极值点M（），所以多元函数极值的充分条件为：记：所以对于2阶连续偏导数的n元函数而言：（1）当Hesse矩阵是正定矩阵（即各阶顺序主子式都大于零）,则在M（）处取得极小值,即：（2）当Hesse矩阵是负定矩阵（即各奇数阶行列式值为小于零,偶数阶行列式值大于零），则在点M（）处取得极大值,即：24用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值的方法在有些情况下，可将约束条件利用起来，减少目标函数自变量的个数，解决多元函数的极值问题，但是有些约束条件却不能够这样处理。所以我们可以构造拉格朗日乘数法来解决这类问题。1欲求函数在约束条件下的极值点，可按下列步骤：（1）作辅助函数，u为待定系数且不为零，也称为拉格朗乘数。（2）求可能取的极值点，求函数的偏导数解方程组该方程组中有四个未知量。一般是设法消去u解得的点就是可能取条件极值的点。（3）判定该点是否为极值点。（若按照实际情况存在极值点，且求得的只有唯一的点，则这种情况下不用多元函数极值存在的充分条件去判定，这个点就是所求的极值点。(这种方法具有一般性，它可以推广到（n2）元函数在(m1)个约束条件下的条件极值。)2.求函数在约束条件,下的极值。（1）构造拉格朗日函数为：其中为待定系数且都不为零。（2）由多元函数极值存在的必要条件得：（3）由题意极值存在，若解唯一，则该点为所求的极值点；若不唯一，需要用多元函数的极值存在的充分条件来进行判断所求的这些可能极值点是不是极值点。25用积分的方法求多元函数的极值这种方法主要是征对将实际问题转化为数学问题中，目标函数是一个积分的式子，并要求求该式子的最值。这一方法的思路是先求出积分后，使式子与前面所讲的情况类似就可用以上的方法来求解。其步骤为：（1）建立目标函数，求积分;（2）求出函数区域之内的驻点，并算出函数在驻点处的值;（3）求出函数在区域边界上的最大值或最小值;（4）最后求出所有函数极值或最大值中得到所求最大值或最小值。3多元函数极值的应用31化多元函数极值为一元、二元函数的极值的应用例1某工厂生产两种不同型号的精密机床，其产量分别为x台，y台，总成本函数为：，（单位：万元），若根据市场监测，共需要这两种机床8台，问如何安排生产才能使总成本最小？解：由题意得x+y=8解得y=8-x，代入成本函数得：这样就转化为一元函数的极值问题了，由一元函数存在的必要条件得：即是： x=5又因为：因而 x=5是极小值点，由于只有唯一的驻点，而问题本身有最小值，所以当x=5；y=3时函数有最小值。此时两种型号的机床总成本最低。此时的总成本是C（x,y）=28(万元)例2要制作一个中间是圆柱，两端为相等圆锥的中空浮标，当体积一定时，要使制作材料最省，应当怎样选择这个圆柱和圆锥的尺寸。解：设圆柱底半径为r，高为H，圆锥高为h，则圆柱部分的体积为，圆锥部分的体积为，因此浮标体积为：V=+2*从上式解出得：式(2.1-1)圆柱部分的表面积为，下面计算圆锥部分的表面积。圆锥表面在平面上展开后是一扇形弧长为，半径为，所以扇形面积为因此浮标表面积为： S= S( r, h, H)=+把式(2.1-1)代入，即得问题的目标函数：S= S( r,h)=式(2.1-2)式(2.1-2)的定义域为r0,h0，要求S的最小值，先令由方程组化简得：两边平方，得：代入方程组中，经过化简得：即：，或于是得到：代入式(2.1-1)，得：根据问题的实际意义可以推断，S是存在最小值的，现在S在区域h0,r0内只有唯一的驻点从而由实际推断知，该驻点就是最小值点，即所求浮标表面积的最小值在 H=h,时取得。例3某公司设计一种装饰品，其顶部有一个椭球，椭球内又设计了一个长方体。不妨设椭球中心为坐标原点，建立三维坐标，则它的方程为，并且内接一个长方体，且长方体各个面分别平行于坐标平面。问长方体的三边边长是多少时，长方体的体积最大。解：在长方体取一点M（x,y,z）（x0, y0, z0）则长方体的三边长分虽为2x,2y,2z则体积为：由椭球方程知得：其导出方程组为：解得：由此得顶点为：因只有唯一驻点，而问题又存在最大体积，故长方体的最大体积为：例4某工厂生产三种产品的产量分别为，且满足件下试求所需原料的函数，问该工厂如何决定产量使原料最少？分析：由于为一个三元函数，为了使转化为二元函数，利用条件，即有：所以有：要求的极值，也即是求函数的极值，由二元函数极值的必要条件得：解得：由题意，只有一个驻点（-4，2，2）也是极值点，所以。32多元函数极值存在的充要条件求函数极值的应用例1某公司生产某种产品时需要A,B两种原料,已知A,B两种原料分别使用单位和单位,可产出V单位的产品,这里,且A原料每单位价值10元,B原料每单位价值4元,产品售价每单位40元,求该公司的最大利润。分析与解：要求公司生产这种产品获取的最大利润，由题意建立利润函数为：则要求上式的最值，就要先求出上式的极值，由二元函数极值存在的必要条件得：解上方程组得：由于表示的是该公司用A原料的量，故x0由二元函数极值存在的充分条件且唯一，所以该点是利润函数的最值点即是（），最大利润为例2一个工厂生产三种产品，其总成本函数为：，其中分别为三种产品的产量。三种产品的需求函数分别为：，问工厂为了使利润最大，试确定三种产品的产量使工厂获得最大利润。分析：这是多产品的产量决策问题，使利润最大，是无条件极值问题。解：依据题意，由需求函数得：所以有：由此销售三种产品的收益函数为：从而利润函数设为：由多元函数极值存在的必要条件得:即是：则，点（4，5，5）为的驻点，由极值存在的充分条件中式（1-1）得：=由于该矩阵为负定阵，则存在极大值，且只有唯一的驻点，故该点为最大值点。例3某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据资料统计，销售收入R（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费（万元）之间的关系有如下经验公式:在广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使用权所获利润最大。解：利润等于收入与费用之差，利润函数为：根据多元函数极值存在的必要条件，令：求得驻点，利润函数在驻点处的Hesse矩阵H为：由于矩阵Hesse为负定矩阵，所以A在驻点处达到极大值，也是最大值，即最优广告策略为电台广告费用和报纸广告费用分别为万元和万元，此时可获得最大利润。33用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值的应用例1：甲,乙两种产品,其年需要量分别是6000件和9000件,分批生产其每批生产准备费分别为400元和600元,每年第件产品的库存费为0.15元,若每批两种产品的总生产能力为3000件,试确定最优的批量,以使生产准备费与库存费最小。分析：这是以总费用函数生产准备费与库存费这和为目标函数，以每批两种产品的总生产能力为约束条件的极值问题。解：因批量的一半收库存费，依据题意总费用为：作拉格朗日函数：得方程组解得可能取极值的点唯一，且为由实际问题的意义知，当批量为：时总费用最小。例2：在变力F=yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点没直线运动到椭球面上第一封限点，问当取何值时力F做的功最大，并求出W的最大值。分析与求解：（1）先写出在变力F的作用下质点由原点O沿直线运动到点时所作的功W的表达式，且点O至点M的线段记为L，则：（2）计算曲线积分：L的参数方程是：（3）化最值问题并求解，问题变成求在条件下的最大值与最小值。由题意要将三元函数转化为一元、二元函数是不太可能的，所以我们就采用拉格朗日乘子法求解，构造拉格朗日函数为：则有：解此方程组，对前三个方程，分别乘以得：代入第四个方程得：即有：因为实际问题存在最大值，所以当=时W取得最大值。34用积分的方法求多元函数的极值的应用例：在平面，（其中a0,b0,c0）与三坐标围成的在四面体内作一个以该平面为顶面，在xoy坐标面上的投影为两边分别在x,y轴的正半轴上的长方形D的六面体之最大者。解，六面体体积为：又因为所求的点满足：所以有：由题意，所讨论问题应归结为求函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值。由二元函