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文档简介

4 1不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念二 不定积分的几何意义三 不定积分的性质四 基本积分公式五 不定积分的求法 前面我们讨论了一元函数的微分学 它的基本问题是求已知函数的导数或微分 而在实际问题中 还会遇到与此相反问题 即已知一个函数的导数或微分 求此函数 例如 已知作非匀速直线运动的物体在任意时刻的速度 要求物体的运动方程 这类问题在数学中归结为求导运算的逆运算 我们称之为求函数的不定积分 一 原函数与不定积分的概念 1 原函数 设是定义在某区间上的已知函数 如果存在一个函数 使对于该区间任意 都有关系式 或成立 则称函数为函数在该区间上的一个原函数 例 又因为 所以显然 都是的一个原函数 由此不难得出 1 一个函数的原函数不惟一 且有无穷多个 2 同一函数的原函数之间只相差一个常数 3 若为的一个原函数 则表示的所有原函数 2 不定积分的定义 设是在区间I上的一个原函数 则函数的全体原函数 c为任意常数 3 如何求不定积分 称为在该区间I上的不定积分 即 例1 解 例2 解 求 因为 因为 例3 求 因为 结论 3 不是每个函数在定义区间上都有原函数 在定义区间上的连续函数一定有原函数 即 一定有不定积分 1 求函数的不定积分就是求的全体原函数 实际上只需求出它的一个原函数 再加上一个常数C即可 2 检验积分结果正确与否的方法是 积分结果的导函数等于被积函数 二 不定积分的几何意义 如下图所示 例4设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线方程 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点 1 2 所求曲线方程为 三 不定积分的性质 定理1微分运算与积分运算互为逆运算 即 定理2 定理3 积分运算和微分运算是互逆的 因此 对每一个导数公式都可以得出一个相应的积分公式 四 基本积分公式 将基本导数公式从右往左读 然后稍加整理 可以得出基本积分公式 基本积分表 基本积分表 是常数 基本积分表 1 直接积分法 直接利用基本积分公式与性质求积分 解 根据幂函数的积分公式 例5求下列函数的不定积分 恒等变形法 五 不定积分的求法 1 解 解 原式 例6求下列函数的不定积分 解 原式 解 原式 解 原式 解 原式 解 原式 解 原式 解 原式 解 所求曲线方程为 3 基本积分表 5 不定积分的 线性 性质 1 原函数的概念 2 不定积分的概
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