高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3_2 导数的应用 第3课时 导数的综合应用课件

第3课时导数的综合应用 3 2导数的应用 课时训练 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一利用导数研究不等式问题命题点1解不等式 例1设f x 是定义在R上的奇函数 f 2 0 当x 0时 有0的解集是A 2 0 2 B 2 0 0 2 C 2 2 D 2 0 2 答案 解析 又 2 0 当且仅当00 此时x2f x 0 又f x 为奇函数 h x x2f x 也为奇函数 故x2f x 0的解集为 2 0 2 由题设 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0 解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 命题点2证明不等式例2 2016 全国丙卷 设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 解答 2 证明 当x 1 时 1 x 证明 由 1 知 f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 故当x 1 时 lnx x 1 由题设c 1 设g x 1 c 1 x cx 3 设c 1 证明 当x 0 1 时 1 c 1 x cx 证明 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 又g 0 g 1 0 故当00 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 1 利用导数解不等式的思路已知一个含f x 的不等式 可得到和f x 有关的函数的单调性 然后可利用函数单调性解不等式 2 利用导数证明不等式的方法证明f x g x x a b 可以构造函数F x f x g x 如果F x 0 则F x 在 a b 上是减函数 同时若F a 0 由减函数的定义可知 x a b 时 有F x 0 即证明了f x g x 思维升华 3 利用导数解决不等式的恒成立问题的策略 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 跟踪训练1证明不等式ex 1 x x2 x 0 解答 令g x ex 1 x 则g x ex 1 当x 0时 g x ex 1 0 所以g x 在 0 上单调递增 而g 0 0 所以g x g 0 0 所以g x 0在 0 上恒成立 即f x 0在 0 上恒成立 所以f x 在 0 上单调递增 题型二利用导数研究函数零点问题 例3 2016 杭州学军中学模拟 已知函数f x a lnx a R 1 若a 2 求f x 在 1 e2 上零点的个数 其中e为自然对数的底数 解答 所以在 1 e2 上至多只有一个零点 故函数f x 在 1 e2 上只有一个零点 2 若f x 恰有一个零点 求a的取值集合 解答 当x 1时 f x 0 f x 在 0 1 上单调递增 故 f x max f 1 a 1 当 f x max 0 即a 1时 因最大值点唯一 故符合题意 当 f x max0 即a 1时 另一方面 e a 1 f e a 2a ea 2a ea 0 于是f x 有两个零点 不合题意 综上 a的取值集合为 1 1 利用导数研究函数的单调性 可以和零点存在性定理相结合判断零点个数 2 利用导数研究方程的根 函数的零点 的策略研究方程的根或曲线的交点个数问题 可构造函数 转化为研究函数的零点个数问题 可利用导数研究函数的极值 最值 单调性 变化趋势等 从而画出函数的大致图象 然后根据图象判断函数的零点个数 思维升华 跟踪训练2 2016 郑州模拟 定义在R上的奇函数y f x 满足f 3 0 且不等式f x xf x 在 0 上恒成立 则函数g x xf x lg x 1 的零点个数为A 4B 3C 2D 1 答案 解析 定义在R上的奇函数f x 满足 f 0 0 f 3 f 3 f x f x 当x 0时 f x xf x 即f x xf x 0 xf x 0 即h x xf x 在x 0时是增函数 又h x xf x xf x h x xf x 是偶函数 当x 0时 h x 是减函数 结合函数的定义域为R 且f 0 f 3 f 3 0 可得函数y1 xf x 与y2 lg x 1 的大致图象如图 由图象可知 函数g x xf x lg x 1 的零点的个数为3 题型三利用导数研究恒成立或有解问题 解答 函数的定义域为 0 令f x 0 得x 1 当x 0 1 时 f x 0 f x 单调递增 当x 1 时 f x 0 f x 单调递减 2 如果当x 1时 不等式f x 恒成立 求实数k的取值范围 解答 所以h x h 1 1 所以g x 0 所以g x 为单调递增函数 所以g x g 1 2 故k 2 所以实数k的取值范围是 2 引申探究本题 2 中 若改为存在x0 1 e 使不等式f x 成立 求实数k的取值范围 解答 利用导数研究恒成立或有解问题的策略 1 首先要构造函数 利用导数研究函数的单调性 求出最值 进而得出相应的含参不等式 从而求出参数的取值范围 2 也可分离变量 构造函数 直接把问题转化为函数的最值问题 思维升华 跟踪训练3 证明 即f x 在 1 上单调递增 又f 1 0 故f x 0对x 1 成立 f x 在 1 上单调递增 2 当x 1时 f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 解答 x 1 由f x g x 得 h x x 1 ex 1 ax2 x a 1 x 1 ex 1 a x 1 1 x 1 设k x ex 1 a x 1 1 x 1 k x ex 1 a 当a 1时 k x 0对x 1 成立 又k 1 0 故k x 0 即h x 0 h x 在 1 上单调递增 又h 1 0 故h x 0 当a 1时 由k x 0 得x 1 lna 1 当x 1 1 lna 时 k x 0 又k 1 0 故k x 0 即h x 0 又h 1 0 故h x 0 这与已知条件不符 综上所述 实数a的取值范围为 1 典例 一审条件挖隐含 审题路线图系列 审题路线图 规范解答 返回 设h x x x2lnx h x 1 2xlnx x 在区间 1 2 上单调递减 所以h x max h 1 1 所以a 1 即实数a的取值范围是 1 14分 返回 课时训练 1 2016 金华模拟 已知定义在R上的可导函数f x 的导函数为f x 满足f x f x 且f x 2 为偶函数 f 4 1 则不等式f x ex的解集为A 2 B 0 C 1 D 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 2 为偶函数 f x 2 的图象关于x 0对称 f x 的图象关于x 2对称 f 4 f 0 1 又 f x f x g x 0 x R 函数g x 在定义域上单调递减 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x 0 故选B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 方程x3 6x2 9x 10 0的实根个数是A 3B 2C 1D 0 设f x x3 6x2 9x 10 则f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 由此可知函数的极大值为f 1 6 0 极小值为f 3 10 0 所以方程x3 6x2 9x 10 0的实根个数为1 故选C 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 当x 2 1 时 不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立 则实数a的取值范围是A 5 3 B 6 C 6 2 D 4 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令g t 3t3 4t2 t 在t 1 上 g t 0 g t 单调递减 所以g t max g 1 6 因此a 6 同理 当x 2 0 时 得a 2 由以上两种情况得 6 a 2 显然当x 0时也成立 故实数a的取值范围为 6 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 若商品的年利润y 万元 与年产量x 百万件 的函数关系式 y x3 27x 123 x 0 则获得最大利润时的年产量为A 1百万件B 2百万件C 3百万件D 4百万件 y 3x2 27 3 x 3 x 3 当00 当x 3时 y 0 故当x 3时 该商品的年利润最大 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 2016 宁波质检 直线x t分别与函数f x ex 1的图象及g x 2x 1的图象相交于点A和点B 则AB的最小值为A 2B 3C 4 2ln2D 3 2ln2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得AB ex 1 2x 1 ex 2x 2 令h x ex 2x 2 则h x ex 2 所以h x 在 ln2 上单调递减 在 ln2 上单调递增 所以h x min h ln2 4 2ln2 0 即AB的最小值是4 2ln2 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 2016 浙江四校联考 已知函数f x ax2 bx lnx a 0 b R 若对任意x 0 f x f 1 则A lna 2bD lna 2b 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即2a b 1 构造一个新函数g x 2 4x lnx 所以有g a 2 4a lna 2b lna 0 lna 2b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2016 诸暨期末 已知函数f x x 1 e 1 lnx 其中e为自然对数的底数 则满足f ex 0的x的取值范围为 令g x f ex ex 1 e 1 x 则g x ex e 1 当x ln e 1 时 g x 0 x ln e 1 时 g x 0 g x 单调递增 又g x 有0和1两个零点 所以f ex 0的x的取值范围为 0 1 答案 解析 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 2016 余姚模拟 定义在R上的函数f x 满足 f x f x 1 f 0 4 则不等式exf x ex 3 其中e为自然对数的底数 的解集为 答案 解析 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设g x exf x ex x R 则g x exf x exf x ex ex f x f x 1 f x f x 1 f x f x 1 0 g x 0 y g x 在定义域上单调递增 exf x ex 3 g x 3 又 g 0 e0f 0 e0 4 1 3 g x g 0 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 已知函数f x ax3 3x2 1 若f x 存在唯一的零点x0且x0 0 则a的取值范围是 答案 解析 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当a 0时 f x 3x2 1有两个零点 不合题意 故a 0 f x 3ax2 6x 3x ax 2 若a 0 由三次函数图象知f x 有负数零点 不合题意 故a 0 又a 0 所以a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 10 2016 济南模拟 已知f x 1 x ex 1 1 求函数f x 的最大值 f x xex 当x 0 时 f x 0 f x 单调递增 当x 0 时 f x 0 f x 单调递减 所以f x 的最大值为f 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 由 1 知 当x 0时 f x x 设h x f x x 则h x xex 1 当x 1 0 时 0h 0 0 即g x 1且x 0时总有g x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 设函数f x x2 bln x 1 其中b 0 1 若b 12 求f x 的单调递增区间 解答 由题意 知f x 的定义域为 1 当b 12时 f x x2 12ln x 1 得x 2或x 3 舍去 当x 1 2 时 f x 0 所以f x 的单调递增区间为 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 如果函数f x 在定义域内既有极大值又有极小值 求实数b的取值范围 即2x2 2x b 0在 1 上有两个不等实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 12 2016 台州调考 已知函数f x 1 lnx 其中k为常数 1 若k 0 求曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 当k 0时 f x 1 lnx 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y 1 x 1 即x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解答 2 若k 5 求证 f x 有且仅有两个零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明 当x 0 10 时 f x 0 f x 单调递增 所以当x 10时 f x 有极小值 因为f 10 ln10 30 所以f x 在 1 10 之间有一个零点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以f x 在 10 e4 之间有一个零点 从而f x 有且仅有两个不同的零点 1 2 3 4 5