高考数学大一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13_2 直接证明与间接证明课件 理 新人教版

13 2直接证明与间接证明 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 直接证明 知识梳理 1 综合法 定义 一般地 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 框图表示 其中P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 思维过程 由因导果 推理论证 2 分析法 定义 一般地 从出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 其中Q表示要证明的结论 思维过程 执果索因 要证明的结论 充分条件 2 间接证明 反证法 一般地 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明的证明方法 不成立 矛盾 原命题成立 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 考点自测 1 若a b c为实数 且a b 0 则下列命题正确的是 答案 解析 a2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 2 2016 北京 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则A 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C 乙盒中红球不多于丙盒中红球D 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 解析 取两个球往盒子中放有4种情况 红 红 则乙盒中红球数加1 黑 黑 则丙盒中黑球数加1 红 黑 红球放入甲盒中 则乙盒中黑球数加1 黑 红 黑球放入甲盒中 则丙盒中红球数加1 因为红球和黑球个数一样 所以 和 的情况一样多 和 的情况完全随机 和 对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响 和 出现的次数是一样的 所以对B选项中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样 综上选B 3 要证a2 b2 1 a2b2 0 只要证明 a2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 答案 解析 a 0 b 0且a b 答案 解析 答案 解析 f x sinx在区间 0 上是凸函数 且A B C 0 题型分类深度剖析 题型一综合法的应用 例1 2016 重庆模拟 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ac 证明 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 证明 1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 思维升华 跟踪训练1对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1 都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 1 若函数f x 为理想函数 证明 f 0 0 证明 取x1 x2 0 则x1 x2 0 1 f 0 0 f 0 f 0 f 0 0 又对任意的x 0 1 总有f x 0 f 0 0 于是f 0 0 解答 对于f x 2x x 0 1 f 1 2不满足新定义中的条件 f x 2x x 0 1 不是理想函数 对于f x x2 x 0 1 显然f x 0 且f 1 1 f x x2 x 0 1 是理想函数 综上 f x x2 x 0 1 是理想函数 对任意的x1 x2 0 1 x1 x2 1 即f2 x1 x2 f x1 f x2 2 f x1 x2 f x1 f x2 不满足条件 例2 题型二分析法的应用 证明 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 1 引申探究 证明 由于x1 x2 R时 0 0 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 思维升华 跟踪训练2 2017 重庆月考 设a 0 b 0 2c a b 求证 1 c2 ab 证明 证明 a c 2 c2 ab a a b 2c 0成立 原不等式成立 题型三反证法的应用 命题点1证明否定性命题例3等差数列 an 的前n项和为Sn a1 1 S3 9 3 1 求数列 an 的通项an与前n项和Sn 解答 2 设bn n N 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 证明 假设不成立 即数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 命题点2证明存在性问题例4 2016 济南模拟 若f x 的定义域为 a b 值域为 a b a b 则称函数f x 是 a b 上的 四维光军 函数 解答 由题设得g x x 1 2 1 其图象的对称轴为x 1 区间 1 b 在对称轴的右边 所以函数在区间 1 b 上单调递增 由 四维光军 函数的定义可知 g 1 1 g b b 因为b 1 所以b 3 2 是否存在常数a b a 2 使函数h x 是区间 a b 上的 四维光军 函数 若存在 求出a b的值 若不存在 请说明理由 解答 解得a b 这与已知矛盾 故不存在 命题点3证明唯一性命题例5已知M是由满足下述条件的函数构成的集合 对任意f x M 方程f x x 0有实数根 函数f x 的导数f x 满足0 f x 1 解答 当x 0时 f 0 0 所以方程f x x 0有实数根0 2 集合M中的元素f x 具有下面的性质 若f x 的定义域为D 则对于任意 m n D 都存在x0 m n 使得等式f n f m n m f x0 成立 试用这一性质证明 方程f x x 0有且只有一个实数根 证明 假设方程f x x 0存在两个实数根 则f 0 f 0 不妨设 根据题意存在c 满足f f f c 因为f f 且 所以f c 1 与已知0 f x 1矛盾 又f x x 0有实数根 所以方程f x x 0有且只有一个实数根 应用反证法证明数学命题 一般有以下几个步骤 第一步 分清命题 p q 的条件和结论 第二步 作出与命题结论q相反的假设綈q 第三步 由p和綈q出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 第四步 断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真 于是原结论q成立 从而间接地证明了命题p q为真 所说的矛盾结果 通常是指推出的结果与已知公理 已知定义 已知定理或已知事实矛盾 与临时假设矛盾以及自相矛盾等都是矛盾结果 思维升华 跟踪训练3已知二次函数f x ax2 bx c a 0 的图象与x轴有两个不同的交点 若f c 0 且00 证明 f x 的图象与x轴有两个不同的交点 f x 0有两个不等实根x1 x2 f c 0 x1 c是f x 0的根 证明 典例 12分 直线y kx m m 0 与椭圆W y2 1相交于A C两点 O是坐标原点 1 当点B的坐标为 0 1 且四边形OABC为菱形时 求AC的长 2 当点B在W上且不是W的顶点时 证明 四边形OABC不可能为菱形 反证法在证明题中的应用 思想与方法系列26 思想方法指导 规范解答 在证明否定性问题 存在性问题 唯一性问题时常考虑用反证法证明 应用反证法需注意 1 掌握反证法的证明思路及证题步骤 正确作出假设是反证法的基础 应用假设是反证法的基本手段 得到矛盾是反证法的目的 2 当证明的结论和条件联系不明显 直接证明不清晰或正面证明分类较多 而反面情况只有一种或较少时 常采用反证法 3 利用反证法证明时 一定要回到结论上去 返回 1 解因为四边形OABC为菱形 则AC与OB相互垂直平分 由于O 0 0 B 0 1 2 证明假设四边形OABC为菱形 因为点B不是W的顶点 且AC OB 所以k 0 设A x1 y1 C x2 y2 则 因为M为AC和OB的交点 且m 0 k 0 所以OABC不是菱形 与假设矛盾 所以当点B不是W的顶点时 四边形OABC不可能是菱形 12分 返回 课时作业 1 2017 泰安质检 用反证法证明命题 设a b为实数 则方程x2 ax b 0至少有一个实根 时 要做的假设是A 方程x2 ax b 0没有实根B 方程x2 ax b 0至多有一个实根C 方程x2 ax b 0至多有两个实根D 方程x2 ax b 0恰好有两个实根 答案 解析 因为 方程x2 ax b 0至少有一个实根 等价于 方程x2 ax b 0有一个实根或两个实根 所以该命题的否定是 方程x2 ax b 0没有实根 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 山西质量监测 对累乘运算 有如下定义 ak a1 a2 an 则下列命题中的真命题是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当且仅当x y z时等号成立 答案 解析 A 都大于2B 至少有一个大于2C 至少有一个不小于2D 至少有一个不大于2 所以三个数中至少有一个不小于2 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 已知p3 q3 2 证明 p q 2 用反证法证明时 可假设p q 2 若a b R a b 1 求证 方程x2 ax b 0的两根的绝对值都小于1 用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1 即假设 x1 1 以下结论正确的是A 与 的假设都错误B 的假设正确 的假设错误C 与 的假设都正确D 的假设错误 的假设正确 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 对于 结论的否定是p q 2 故 中的假设错误 对于 其假设正确 故选D 5 设a b是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件是A B C D 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 但a 1 b 1 故 推不出 若a b 1 则a b 2 故 推不出 若a 2 b 3 则a2 b2 2 故 推不出 若a 2 b 3 则ab 1 故 推不出 对于 即a b 2 则a b中至少有一个大于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 反证法 假设a 1且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 a b中至少有一个大于1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 河南三市联考 设n为正整数 f n 1 计算得f 2 f 4 2 f 8 f 16 3 观察上述结果 按照上面规律 可推测f 128 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 7 2016 全国甲卷 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 答案 解析 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由丙说 我的卡片上的数字之和不是5 可知 丙为 1和2 或 1和3 又乙说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 所以乙只可能为 2和3 又甲说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 所以甲只能为 1和3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 若二次函数f x 0在区间 1 1 内恒成立 8 若二次函数f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点c 使f c 0 则实数p的取值范围是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以要证的不等式成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 设f x ax2 bx c a 0 若函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 求证 f x 为偶函数 证明 由函数f x 1 与f x 的图象关于y轴对称 可知f x 1 f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 证明 函数f x 在 1 上为增函数 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 任取x1 x2 1 又 x1 1 0 x2 1 0 不妨设x10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故函数f x 在 1 上为增函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 用反证法证明方程f x 0没有负数根 证明 假设存在x0 0 x0 1 满足f x0 0 a 1 0 1 故方程f x 0没有负数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2015 陕西 设fn x 是等比数列1 x x2 xn的各项和 其中x 0 n N n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 Fn x fn x 2 1 x x2 xn 2 则Fn 1 n 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又F n x 1 2x nxn 1 0 x 0 因为xn是Fn x 的零点 所以Fn xn 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设有一个与上述等比数列的首项 末项 项数分别相同的等差数列 其各项和为gn x 比较fn x 与gn x 的大小 并加以证明 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设h x fn x gn x 1 x x2 xn x 0 当x 1时 fn x gn x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 所以h x 在 0 1 上递增 在 1 上递减 所以h x h 1 0 即fn x gn x 综上所述 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 fn x gn x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 方法二由题设 fn x 1 x x2 xn 当x 1时 fn x gn x 当x 1时 用数学归纳法可以证明fn x gn x 所以f2 x g2 x 成立 假设n k k 2 时 不等式成立 即fk x gk x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 那么 当n k 1时 fk 1 x fk x xk 1 gk x xk 1 令hk x kxk 1 k 1 xk 1 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 则h k x k k 1 xk k k 1 xk 1 k k 1 xk 1 x 1 故fk 1 x gk 1 x 即n k 1时不等式也成立 所以当0 x 1时 h k x 0 hk x 在 0 1 上递减 当x 1时 h k x 0