高考数学大一轮复习 第六章 数列 6_4 数列求和课件 理 苏教版

6 4数列求和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 等差数列的前n项和公式 知识梳理 2 等比数列的前n项和公式 3 一些常见数列的前n项和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n 4 12 22 n2 n2 n n 1 数列求和的常用方法 1 公式法等差 等比数列或可化为等差 等比数列的可直接使用公式求和 2 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 常见的裂项公式 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 如果数列 an 为等比数列 且公比不等于1 则其前n项和Sn 2 当n 2时 3 求Sn a 2a2 3a3 nan之和时 只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 4 数列 2n 1 的前n项和为n2 5 推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法 利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44 5 考点自测 1 2016 南京模拟 设 an 是公差不为0的等差数列 a1 2 且a1 a3 a6成等比数列 则 an 的前n项和Sn 答案 解析 设等差数列的公差为d 则a1 2 a3 2 2d a6 2 5d 又 a1 a3 a6成等比数列 a1 a6 即 2 2d 2 2 2 5d 整理得2d2 d 0 d 0 d 2 教材改编 数列 an 中 an 若 an 的前n项和Sn 则n 答案 解析 2017 Sn a1 a2 an 3 数列 an 的通项公式为an 1 n 1 4n 3 则它的前100项之和S100 S100 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 100 3 4 1 2 3 4 99 100 4 50 200 答案 解析 200 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和Sn 答案 解析 2n 1 2 n2 5 数列 an 的通项公式为an ncos 其前n项和为Sn 则S2017 答案 解析 1008 因为数列an ncos呈周期性变化 观察此数列规律如下 a1 0 a2 2 a3 0 a4 4 故S4 a1 a2 a3 a4 2 a5 0 a6 6 a7 0 a8 8 故a5 a6 a7 a8 2 周期T 4 S2017 S2016 a2017 1008 题型分类深度剖析 题型一分组转化法求和例1已知数列 an 的前n项和Sn n N 1 求数列 an 的通项公式 解答 当n 1时 a1 S1 1 a1也满足an n 故数列 an 的通项公式为an n 2 设bn 1 nan 求数列 bn 的前2n项和 解答 由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前2n项和为T2n 则T2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记A 21 22 22n B 1 2 3 4 2n 则A 22n 1 2 B 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前2n项和T2n A B 22n 1 n 2 引申探究例1 2 中 求数列 bn 的前n项和Tn 解答 由 1 知bn 2n 1 n n 当n为偶数时 Tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 2n 1 2 当n为奇数时 Tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 2 n 1 n 分组转化法求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 通项公式为an 的数列 其中数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 注意在含有字母的数列中对字母的讨论 思维升华 跟踪训练1已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和Sn 解答 Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 当n为奇数时 3n ln3 ln2 1 所以当n为偶数时 题型二错位相减法求和例2已知a 0 a 1 数列 an 是首项为a 公比也为a的等比数列 令bn an lgan n N 求数列 bn 的前n项和Sn 解答 an an bn n anlga Sn a 2a2 3a3 nan lga aSn a2 2a3 3a4 nan 1 lga 得 1 a Sn a a2 an nan 1 lga Sn 1 1 n na an 错位相减法求和时的注意点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 Sn qSn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 思维升华 跟踪训练2设等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d S10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 解答 2 当d 1时 记cn 求数列 cn 的前n项和Tn 解答 由d 1 知an 2n 1 bn 2n 1 故cn 于是 可得 题型三裂项相消法求和命题点1形如an 型例3设数列 an 的前n项和为Sn 点 n n N 均在函数y 3x 2的图象上 1 求数列 an 的通项公式 解答 把点 n 代入函数y 3x 2 3n 2 Sn 3n2 2n 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 3 n 1 2 2 n 1 6n 5 又a1 1符合该式 an 6n 5 n N 2 设bn Tn是数列 bn 的前n项和 求Tn 解答 Tn b1 b2 b3 bn 命题点2形如an 型例4已知函数f x xa的图象过点 4 2 令an n N 记数列 an 的前n项和为Sn 则S2017 答案 解析 由f 4 2 可得4a 2 解得a 则f x 1 用裂项相消法求和时 要对通项进行变换 如 裂项后可以产生连续相互抵消的项 2 抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 思维升华 跟踪训练3在数列 an 中 a1 1 当n 2时 其前n项和Sn满足 1 求Sn的表达式 解答 an Sn Sn 1 n 2 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 由题意得Sn 1 Sn 0 式两边同除以Sn 1 Sn 数列是首项为 1 公差为2的等差数列 1 2 n 1 2n 1 Sn 2 设bn 求 bn 的前n项和Tn 解答 典例 14分 已知数列 an 的前n项和Sn kn 其中k N 且Sn的最大值为8 1 确定常数k 并求an 2 设数列的前n项和为Tn 求证 Tn 4 审题路线图 规范解答 四审结构定方案 审题路线图系列 返回 1 解当n k N 时 Sn kn取得最大值 即8 Sk 故k2 16 k 4 当n 1时 a1 S1 3分 当n 2时 an Sn Sn 1 当n 1时 上式也成立 综上 an 6分 10分 得 Tn 4 Tn 4 14分 返回 课时作业 1 2016 江苏无锡一中质检 设Sn为等差数列 an 的前n项和 S4 14 S10 S7 30 则S9 答案 解析 设等差数列 an 的首项为a1 公差为d 则S4 4a1 6d 14 S10 10a1 45d S7 7a1 21d 则S10 S7 3a1 24d 30 解 可得d 1 a1 2 故S9 9a1 36d 18 36 54 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2016 无锡模拟 设等比数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2016 且an 2an 1 an 2 0 n N 则S2016 答案 解析 0 an 2an 1 an 2 0 n N an 2anq anq2 0 q为等比数列 an 的公比 即q2 2q 1 0 q 1 an 1 n 1 2016 S2016 a1 a2 a3 a4 a2015 a2016 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 教材改编 数列 n 的前n项和Sn 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知函数f n 且an f n f n 1 则a1 a2 a3 a100 由题意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 答案 解析 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 2016 江苏连云港四校期中 一个只有有限项的等差数列 它的前5项和为34 最后5项和为146 所有项的和为234 则它的第7项为 据题意知a1 a2 a3 a4 a5 34 an 4 an 3 an 2 an 1 an 146 又 a1 an a2 an 1 a3 an 2 a4 an 3 a5 an 4 a1 an 36 又Sn n a1 an 234 n 13 a1 a13 2a7 36 a7 18 18 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 2016 苏州模拟 已知数列 an 的通项公式为an 若前n项和为10 则项数n为 答案 解析 120 Sn a1 a2 an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 2016 泰州模拟 设数列 an 满足a1 1 1 an 1 1 an 1 n N 则的值为 答案 解析 因为 1 an 1 1 an 1 所以an an 1 anan 1 0 即数列是以1为首项 1为公差的等差数列 所以 1 n 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 2016 苏北四市期末 若公比不为1的等比数列 an 满足log2 a1 a2 a13 13 等差数列 bn 满足b7 a7 则b1 b2 b13的值为 因为等比数列 an 满足log2 a1 a2 a13 13 所以a1 a2 a13 213 a7 13 213 a7 2 所以等差数列 bn 中 b7 a7 2 b1 b2 b13 13b7 13 2 26 答案 解析 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 已知正项数列 an 的前n项和为Sn n N 2Sn an 令bn 设 bn 的前n项和为Tn 则在T1 T2 T3 T100中有理数的个数为 答案 解析 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2Sn an 2Sn 1 an 1 得2an 1 an 1 an an 1 an 0 an 1 an an 1 an 1 0 又 an 为正项数列 an 1 an 1 0 即an 1 an 1 在2Sn an中 令n 1 可得a1 1 数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 an n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 T1 T2 T3 T100中有理数的个数为9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 2016 南京 盐城一模 设Sn是等比数列 an 的前n项和 an 0 若S6 2S3 5 则S9 S6的最小值为 答案 解析 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一当q 1时 S6 2S3 0 不合题意 所以q 1 故1 q1 当且仅当t 1 即q3 2时等号成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二因为S6 S3 1 q3 所以由S6 2S3 5得S3 0 从而q 1 故S9 S6 S3 q6 q3 1 S3 q3 1 S3q6 以下同方法一 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 数列 an 满足an 2an 1 2n 1 n N n 2 a3 27 1 求a1 a2的值 由a3 27 得27 2a2 23 1 a2 9 9 2a1 22 1 a1 2 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 是否存在一个实数t 使得bn an t n N 且数列 bn 为等差数列 若存在 求出实数t 若不存在 请说明理由 假设存在实数t 使得 bn 为等差数列 则2bn bn 1 bn 1 4an 4an 1 an 1 t 4an 4 2an 2n 1 1 t t 1 即存在实数t 1 使得 bn 为等差数列 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 求数列 an 的前n项和Sn 由 1 2 得b1 b2 an n 2n 1 2n 1 2n 1 1 Sn 3 20 1 5 21 1 7 22 1 2n 1 2n 1 1 3 5 2 7 22 2n 1 2n 1 n 2Sn 3 2 5 22 7 23 2n 1 2n 2n 由 得 Sn 3 2 2 2 22 2 23 2 2n 1 2n 1 2n n 1 2 2n 1 2n n 1 2n 2n n 1 Sn 2n 1 2n n 1 bn n 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 2016 天津 已知 an 是等比数列 前n项和为Sn n N 且 S6 63 1 求 an 的通项公式 解答 设数列 an 的公比为q 解得q 2或q 1 又由S6 a1 63 知q 1 所以a1 63 得a1 1 所以an 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若对任意的n N bn是log2an和log2an 1的等差中项 求数列的前2n项和 解答 由题意 得bn log2an log2an 1 即 bn 是首项为 公差为1的等差数列 设数列的前n项和为Tn 则 log22n 1 log22n n b1 b2 b3 b4 b2n 1 b2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 若数列 an 的前n项和为Sn 点 an Sn 在y 的图象上