高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7_2 一元二次不等式及其解法课件 理 苏教版

7 2一元二次不等式及其解法 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 三个二次 的关系 知识梳理 x1 x2 2 常用结论 x a x b 0或 x a x b 0型不等式的解法 口诀 大于取两边 小于取中间 x x a x xa x a x b 1 0 0 0 2 0 0 f x g x 0 0 且g x 0 以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若不等式ax2 bx c0 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 则方程ax2 bx c 0的两个根是x1和x2 3 若方程ax2 bx c 0 a 0 没有实数根 则不等式ax2 bx c 0的解集为R 4 不等式ax2 bx c 0在R上恒成立的条件是a 0且 b2 4ac 0 5 若二次函数y ax2 bx c的图象开口向下 则不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 考点自测 1 教材改编 不等式x2 3x 10 0的解集是 答案 解析 2 5 解方程x2 3x 10 0得x1 2 x2 5 由于y x2 3x 10的图像开口向上 所以x2 3x 10 0的解集为 2 5 2 教材改编 不等式 0的解集是 答案 解析 不等式0 不等式的解集是 x x4 3 教材改编 不等式的解集为 1 2 由题意得x2 x 2 1 x 2 故解集为 1 2 答案 解析 4 教材改编 若关于x的不等式ax2 bx 2 0的解集是 则a b 答案 解析 14 x1 x2 是方程ax2 bx 2 0的两个根 a b 14 5 不等式x2 ax 4 0的解集不是空集 则实数a的取值范围是 4 4 答案 解析 x2 ax 4 0的解集不是空集 则x2 ax 4 0一定有解 a2 4 1 4 0 即a2 16 a 4或a 4 题型分类深度剖析 题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1 2016 南京模拟 求不等式 2x2 x 3 0的解集 解答 化 2x2 x 30 解方程2x2 x 3 0得x1 1 x2 不等式2x2 x 3 0的解集为 1 即原不等式的解集为 1 命题点2含参不等式例2解关于x的不等式 x2 a 1 x a 0 解答 由x2 a 1 x a 0 得 x a x 1 0 x1 a x2 1 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 x 1 x a 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 当a 1时 x2 a 1 x a 0的解集为 x a x 1 引申探究将原不等式改为ax2 a 1 x 1 0 求不等式的解集 解答 若a 0 原不等式等价于 x 11 若a0 解得x1 若a 0 原不等式等价于 x x 1 0 当a 1时 1 x x 1 0无解 当a 1时 1 解 x x 1 0 得 x 1 当01 解 x x 1 0 得1 x 综上所述 当a1 当a 0时 解集为 x x 1 当0 a 1时 解集为 x 1 x 当a 1时 解集为 当a 1时 解集为 x x 1 含有参数的不等式的求解 往往需要对参数进行分类讨论 1 若二次项系数为常数 首先确定二次项系数是否为正数 再考虑分解因式 对参数进行分类讨论 若不易分解因式 则可依据判别式符号进行分类讨论 2 若二次项系数为参数 则应先考虑二次项系数是否为零 确定不等式是不是二次不等式 然后再讨论二次项系数不为零的情形 以便确定解集的形式 3 对方程的根进行讨论 比较大小 以便写出解集 思维升华 跟踪训练1解下列不等式 1 0 x2 x 2 4 解答 原不等式等价于 借助于数轴 如图所示 所以原不等式的解集为 x 2 x 1或2 x 3 2 求不等式12x2 ax a2 a R 的解集 解答 12x2 ax a2 12x2 ax a2 0 即 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0 得x1 x2 当a 0时 解集为 当a 0时 x2 0 解集为 x x R且x 0 当a 0时 解集为 综上所述 当a 0时 不等式的解集为 当a 0时 不等式的解集为 x x R且x 0 当a 0时 不等式的解集为 题型二一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例3 1 若一元二次不等式2kx2 kx 0对一切实数x都成立 则k的取值范围为 答案 解析 3 0 2kx2 kx 0为一元二次不等式 k 0 又2kx2 kx 0对一切实数x都成立 则必有 解得 3 k 0 2 设a为常数 对于 x R ax2 ax 1 0 则a的取值范围是 答案 解析 0 4 对于 x R ax2 ax 1 0 则必有或a 0 0 a 4 命题点2在给定区间上的恒成立问题例4设函数f x mx2 mx 1 若对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 解答 要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 即在x 1 3 上恒成立 有以下两种方法 方法一令g x x 1 3 当m 0时 g x 在 1 3 上是增函数 所以g x max g 3 7m 6 0 所以m 所以0 m 当m 0时 6 0恒成立 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 当m 0时 g x 在 1 3 上是减函数 综上所述 m的取值范围是 m m 方法二因为x2 x 1 又因为m x2 x 1 6 0 所以m 因为函数y 在 1 3 上的最小值为 所以只需m 即可 所以m的取值范围是 命题点3给定参数范围的恒成立问题例5对任意m 1 1 函数f x x2 m 4 x 4 2m的值恒大于零 求x的取值范围 解答 由f x x2 m 4 x 4 2m x 2 m x2 4x 4 令g m x 2 m x2 4x 4 由题意知在 1 1 上 g m 的值恒大于零 故当x的取值范围为 1 3 时 对任意的m 1 1 函数f x 的值恒大于零 解得x3 1 对于一元二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值 2 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是主元 求谁的范围 谁就是参数 思维升华 跟踪训练2 1 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的取值范围是 答案 解析 作出二次函数f x 的草图 对于任意x m m 1 都有f x 0 解得 m 0 2 已知不等式mx2 2x m 1 0 是否存在实数m对所有的实数x 使不等式恒成立 若存在 求出m的取值范围 若不存在 请说明理由 解答 不等式mx2 2x m 1 不满足题意 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即 不等式组的解集为空集 即m无解 综上可知 不存在这样的m 题型三一元二次不等式的应用例6某商品每件成本价为80元 售价为100元 每天售出100件 若售价降低x成 1成 10 售出商品数量就增加成 要求售价不能低于成本价 1 设该商店一天的营业额为y 试求y与x之间的函数关系式y f x 并写出定义域 解答 由题意得 y 因为售价不能低于成本价 所以 80 0 所以y f x 40 10 x 25 4x 定义域为x 0 2 2 若再要求该商品一天营业额至少为10260元 求x的取值范围 解答 由题意得40 10 x 25 4x 10260 化简得8x2 30 x 13 0 解得 x 所以x的取值范围是 求解不等式应用题的四个步骤 1 阅读理解 认真审题 把握问题中的关键量 找准不等关系 2 引进数学符号 将文字信息转化为符号语言 用不等式表示不等关系 建立相应的数学模型 3 解不等式 得出数学结论 要注意数学模型中自变量的实际意义 4 回归实际问题 将数学结论还原为实际问题的结果 思维升华 跟踪训练3甲厂以x千克 小时的速度匀速生产某种产品 生产条件要求1 x 10 每小时可获得的利润是100 5x 1 元 1 要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元 求x的取值范围 解答 根据题意 得200 5x 1 3000 整理得5x 14 0 又1 x 10 可解得3 x 10 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元 x的取值范围是 3 10 即5x2 14x 3 0 2 要使生产900千克该产品获得的利润最大 问 甲厂应该选取何种生产速度 并求最大利润 解答 设利润为y元 则 y 100 5x 1 9 104 5 即甲厂以6千克 小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大 最大利润为457500元 故当x 6时 ymax 457500元 典例 1 已知函数f x x2 ax b a b R 的值域为 0 若关于x的不等式f x 0恒成立 则实数a的取值范围是 函数的值域和不等式的解集转化为a b满足的条件 不等式恒成立可以分离常数 转化为函数值域问题 答案 解析 转化与化归思想在不等式中的应用 思想与方法系列14 思想方法指导 9 a a 3 1 由题意知f x x2 ax b f x 的值域为 0 b 0 即b 又 f x c c 得 6 c 9 2 x 1 时 f x 0恒成立 即x2 2x a 0恒成立 即当x 1时 a x2 2x g x 恒成立 而g x x2 2x x 1 2 1在 1 上单调递减 g x max g 1 3 故a 3 实数a的取值范围是 a a 3 课时作业 1 教材改编 不等式 3x2 5x 4 0的解集为 答案 解析 原不等式变形为3x2 5x 4 0 因为 5 2 4 3 4 23 0 所以3x2 5x 4 0无解 由函数y 3x2 5x 4的图象可知 3x2 5x 4 0的解集为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 教材改编 不等式 0的解集为 答案 解析 原不等式等价于 故原不等式的解集为 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若集合A x ax2 ax 1 0 则实数a的取值范围是 答案 解析 由题意知a 0时 满足条件 0 4 当a 0时 由 得0 a 4 所以0 a 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 南京三模 记不等式x2 x 6 0的解集为集合A 函数y lg x a 的定义域为集合B 若 x A 是 x B 的充分条件 则实数a的取值范围为 答案 解析 由题意得A 3 2 B a A B a 3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 若关于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集为 x1 x2 且x2 x1 15 则a 答案 解析 由x2 2ax 8a20 所以不等式的解集为 2a 4a 即x2 4a x1 2a 由x2 x1 15 得4a 2a 15 解得a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 若不等式x2 2x k2 2 0对于任意的x 2 恒成立 则实数k的取值范围是 答案 解析 由x2 2x k2 2 0 得k2 x2 2x 2 设f x x2 2x 2 f x x 1 2 3 当x 2 可求得f x max 2 则k2 f x max 2 所以k 或k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 已知不等式ax2 bx 1 0的解集是 则不等式x2 bx a 0的解集是 答案 解析 由题意知 是方程ax2 bx 1 0的根 所以由根与系数的关系得 解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即为x2 5x 6 0 解集为 2 3 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 教材改编 某厂生产一批产品 日销售量x 单位 件 与货价p 单位 元 件 之间的关系为p 160 2x 生产x件所需成本C 500 30 x元 若使得日获利不少于1300元 则该厂日产量所要满足的条件是 答案 解析 20 45 由题意得 160 2x x 500 30 x 1300 解得20 x 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若不等式 2 x2 2ax a 1有唯一解 则a的值为 答案 解析 若不等式 2 x2 2ax a 1有唯一解 则x2 2ax a 1有两个相等的实根 所以 4a2 4 a 1 0 解得a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知f x 是定义域为R的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 5的解集是 答案 解析 x 7 x 3 由于f x 向左平移两个单位即得f x 2 故f x 2 5的解集为 x 7 x 3 令x0 x 0时 f x x2 4x f x x 2 4 x x2 4x 又f x 为偶函数 f x f x x 0时 f x x2 4x 故有f x 再求f x 5的解 得0 x 5 得 5 x 0 即f x 5的解集为 5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知f x 则不等式f x2 x 1 12的解集是 答案 解析 1 2 由题意得当x 0时 f x 0 且f x 单调递增 当x 0时 f x 0 且f x 单调递增 因为02 0 02 0 所以f x