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拓扑学简介（二）Comments季候风 发表于 2008-10-07 10:55 | Tags 标签：原创, 拓扑学, 数学这次来谈谈拓扑学中有代表性的一个课题， 扭结分类问题。所谓扭结，顾名思义就是一根绳子首尾相接，它可能打了结。更一般的，可以是几根绳子，除了自身打结以外，还互相打结。对具体的一个扭结，也许可以通过做实验的办法判断它是否打结，但是数学家希望找一个普适的，定量的办法。比如说，任意画一个扭结（它实际上是一个空间扭结的平面投影），比如这个有点复杂的，怎样不动手做实验就能判断它到底有没有打结？这个问题后来证实是非常复杂的问题。在有了计算机以后，才能找到一种时间代价很高的算法让计算机帮助我们判断一个扭结投影到底有没有打结。直到 2006 年，才找到一种真正快速的计算机算法来判断这件事。 扭结分类的问题比判断是否打结更困难。比如，以下两个扭结都打了结，它们是否本质上是同一种结？所谓 “分类”， 就是要找一个（可计算的）判据，使得当两个扭结满足这个判据时就是同一种结；当它们不满足这个判据时就不是同一种结。到现在为止，也还只能找到一些非常复杂的判据，同样要借助计算机才能大致判断两个扭结是否本质上为同一种结。扭结理论有一段很有趣的早期历史。1867 年，著名物理学家开尔文勋爵，就是那个号称物理学已经接近终结，只剩 “两朵乌云”的开尔文，突然产生了关于化学元素表的新看法（那时候还没有发现原子，所以化学元素表还是一个谜）。开尔文认为，不同的化学元素其实是 “以太”的涡旋在空间中的扭结形态。“以太”是19 世纪的物理学家们发明的概念，它被想象成充满整个空间，是电磁波传播的载体（或媒质）。开尔文是很严肃的物理学家，当然不能凭空想象，实际上他提出了几个即使从现在的观点看来也很合理的证据：（1）元素很稳定，这可以用扭结的拓扑性质来解释，微小的形变不改变扭结的 “扭法”。（2）元素很多样，这可以用扭结的多样性来解释，不同的 “打结方式” 实在太多了。（3）不同的元素发出不同的光谱，这可以用 “以太扭结” 的各种 “振动方式” 来解释。有时候我们不得不佩服一些大师，他们虽然偶尔有点信口开河，不过极富原创力想象力。开尔文这个想法可以算是 “弦论” 的原生态。虽然后来化学周期表更好地被理解为原子内部结构，但开尔文列举的这几个证据都能在新兴的弦论中依稀找到一点影子。相关文章 拓扑学简介（一），拓扑学简介（二）庞卡莱是 19 世纪末 20 世纪初法国最伟大的数学家，他与德国的希尔伯特领衔当时的数学界，分别继承了黎曼和高斯的衣钵：庞卡莱对物理世界的深刻洞察给了他天马行空般的想象力，一如当年的黎曼；希尔伯特严谨，博学，细致入微地思考，为 20 世纪前半叶数论和代数几何的发展指明了方向。庞卡莱的拓扑学和希尔伯特的代数几何，就像普朗克的量子论和爱因斯坦的相对论，完全革新了整个学科的基本观念。这一帖就试试介绍庞卡莱引入的两个概念：“同调群”与“基本群”。它们都是几何体内在性质的“代数体现”。庞卡莱意识到，描述一个几何体抽象性质的关键在于这个几何体本身有没有边界，以及它是不是其它几何体的边界。比如，一个圆盘和一个球面为什么不同，就是因为圆盘有边界而球面没有边界；球面为什么跟轮胎面不同，就是因为球面上的任何一个圈都是球面某一部分的边界，比如赤道就是北半球面的边界，而轮胎面上有的圈并不是轮胎面任何一部分的边界。在第一篇里说过，莱布尼兹梦想用符号来表述一些抽象的几何性质。200多年后庞卡莱终于实现了这个梦，他把跟边界有关的性质数量化。先把几何体剖分成基本组成部分（点，边，三边形，四面体，.)，比如，一个球面上可以画四个点，然后把它们两两相连（不允许连线相交），有六条边，这些边把球面分成四个三边形，这就是球面的一个“剖分”（见左图）。剖分的基本组成成份叫做 “单形”，“点”是 0 维单形，“边”是 1 维单形，“三边形”（包括内部）是 2 维单形，等等（试想一下 3 维单形是什么）。拿之前已经剖分的球面做例子，顶点 A, B, C, D 是 0 维单形，边 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 维单形，三边形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 维单形 （如果 ABC, ACD 是东半球的区域，那 ABD, BCD 就包括了西半球） 。因为考察的是球面，而不是球体，所以没有三维以上的单形。庞卡莱在单形前面放上系数（整数），假设它们能够相加，以及做同类项合并。这种表达式称为一个“链”，比如(3 AB 2 BC) + (AC 5 BC) = 3 AB 7 BC + AC. 单形前面的加号减号具有几何意义，“定向”。在 1维的时候就是边的方向，比如，AB 是从 A 到 B 的边，-AB 就是从 B 到 A 的边，也就是 BA，所以 BA = - AB. 三边形的定向复杂一些，不过本质上就是跟顶点的排列顺序有关，对换两个顶点就会改变定向，ACB = - ABC. 由于每一个 n 维单形的边界由若干 n-1 维单形组成，所以“求边界”可以作为一种运算，作用在 “链”上，得到另一个 “链”，其每一项都比原来链里对应项的维数低一维。在求边界的过程中，定向也是一个重要因素，虽然 AB 的边界是两个点 A 和 B, 但为了体现定向性质，规定 AB 的边界是 ( B A ). 这种约定可以推广到高维的链，大家不妨自己试试。如果用 d记求边界运算，在跟定向相容的约定下，它在球面剖分的各单形上作用如下d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0; d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, 在“链”上的作用，d (3 AB 2 BC) = 3 d (AB) 2 d (BC) = 3 (B-A) 2 (C-B) = -3 A + 5 B - 2 C.边界运算有一个很好的性质。直观上容易看到，“物体的边界没有边界”。比如，三边形的边界是三条边组成的闭合链。生活中我们说“闭合”的意思就是没有边界。代数上体现为，连续两次求边界一定是零，d d (BCD) = d CD BD + BC = d(CD) d(BD) + d(BC) = (D-C) (D-B) + (C-B) = 0现在把剖分后的几何体的所有这样的 “链”放在一起，它们之间有加减法（合并同类项），可以用系数乘，还可以“求边界”。这就得到了一个代数对象，叫做这个剖分后的几何体的 “链群”。这个代数对象跟我们开始的剖分方法有关。在链群中，可以由求边界运算得到的链叫做“边缘链”，比如，2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC ) 说明等式左边这个链是一个边缘链。没有边界的链叫做“闭链”。边缘链一定是闭链，而闭链不一定是边缘链。庞卡莱发现，“有多少闭链不是边缘链”这个性质与剖分无关，从而是几何体某种本性的代数体现。怎样代数地描述这个性质？考虑所有闭链，它们之间的加减，数乘，结果还是闭链，在其中把边缘链等同于0，这样得到的代数对象将不依赖于剖分几何体的方法，庞卡莱叫它“同调群”。现在来算球面的同调群。顶点都没有边界，但是两个顶点的差一定是一条边的边界，A-B = d (BA)按照庞卡莱的语言，A-B 是边缘链，将被等同于 0, 也就是说，在同调群中A-B = 0, 或者说 A = B. 这样，本质上只有一个 0 维对象，A = B = C = D, 它可以被整数乘，这样我们得到球面的 0 维同调群 , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, 这个代数对象的加法，数乘，跟全体整数的加法，数乘是一样的，用数学的语言来说，球面的 0 维同调群“同构于”整数集。1 维的链是六条边的组合，用代数运算（解线性方程组）或者几何直观都可以看到，没有边界的 1 维链总是由三边形的边界 ( AB + BC + CA ), ( BC + CD + DB), ( AB + BD + DA) 组成，按照庞卡莱的语言，球面上所有的 1 维闭链都是边缘链，都应该在同调群中等同于 0，所以1 维同调群是 0. 2 维的链是四个面的组合，x ABC + y ABD + z ACD + w BCD, 它是闭链的条件d ( x ABC + y ABD + z ACD + w BCD ) = 0. 有兴趣的朋友可以动手算一算上面这个方程，比如第一项d ( x ABC ) = x ( BC AC + AB ) = x BC x AC + x AB,然后合并每条边的系数，令它等于零，就得到 6 个关于 x, y, z, w 的线性方程。这个方程组的解是 x = z = -y = -w. 这个结果说明球面上的每个二维闭链都可以写成w ( BCD ACD + ABD ABC ),也就是说，总是括号中闭链的整数倍。如果把括号里的闭链叫做 s, 那么球面的二维同调群就是 , -3s, -2s, -s, 0, s, 2s, 3s, ，同构于整数集。综上所述，球面的 0 维同调群和 2 维同调群都同构于整数集，1 维同调群为 0. 再引入一个概念，同调群内含有多少个整数集，就说同调群的“秩”是多少。把不同维同调群的“秩”交错加减，即，0 维同调群的秩减去 1 维同调群的秩再加上 2 维同调群的秩再减去 3 维同调群的秩, 得到一个整数。在简单例子里稍作计算，就会发现这个整数实际上是 0 维单形个数减去 1 维单形个数再加上 2 维单形个数再减去 3 维单形个数，即，各维数单形个数的交错和。这个数大家其实颇为熟悉，在高中立体几何最后应该提到过，叫做“欧拉示性数”，对凸多面体的表面，它就是 V E + F, 而且总是等于 2. 实际上，所有凸多面体的表面在拓扑上都是球面，这个“2”就是球面的各维数同调群的“秩”的交错和，1 0 + 1 = 2. 显然，欧拉示性数是最容易计算的拓扑不变量，只需要找一个剖分，然后数数几个顶点几条边几个面.，再加加减减就行了。同调群告诉我们哪些闭链不是边缘链，通俗一点说，告诉我们几何体里面哪些封闭的对象是 “中空”的。它显然是比欧拉示性数更精细的拓扑不变量。有兴趣的朋友可以自己算算两个几何体的同调群：圆圈，轮胎面。（提示：先把它们剖分成单形。）庞卡莱发现了同调群以后，拿它来区分了一些三维的对象。后来他发现，同调群不够精细。比如，跟三维球面（二维球面的高一维推广）具有相同同调群的几何对象不一定就是三维球面。这促使他寻找更精细的拓扑性质。这次他想到几何体里头还有东西是可以运算的，就是道路。两条道路如果首尾相接，就组成一条新的道路，这就是道路的乘法。这里有两个问题需要处理，首先，不是任何两条道路都能相乘（必