2015极坐标.docx

极坐标和参数方程考试大纲1坐标系理解坐标系的作用。了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和直角坐标的互化。能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义。了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别。2参数方程了解参数方程，了解参数的意义。能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。知识点归纳1极坐标系的建立在平面内取一个定点O，叫做 极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个单位长度，一个 角度单位及其正方向，这样就建立了一个 极坐标系设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径，记为。以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角，记为。有序实数对(，)叫做点M的 极坐标，记作 (，)一般地，极坐标(，)与(，2k)(kZ)表示 同一个点，特别地，极点O的坐标为 （0，）（R）2极坐标与直角坐标的互化(1)互化前提是：直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，两坐标系中取相同的长度单位; (2)互化公式：x=cos,y=sin.2=x2+y2,tan=yx(x0)3常见的曲线极坐标方程(1)过极点，极角为的直线方程为(R)(2)与极轴平行并与极轴距离等于的直线方程为sina(a0)(3)与极轴所在直线垂直且与极点距离等于a的直线方程为cosa(a0)(4)圆心为(r,0)，半径为r的极坐标方程为2rcos(r0)(5)圆心为(r,0)，半径为r的极坐标方程为2rcos.(6)圆心为(r，)，半径为r的极坐标方程为2rsin(r0)(7)圆心为(r，)，半径为r的极坐标方程为2rsin(r0)(8)圆心为极点，半径为r的极坐标方程为r(r0)4常考的参数方程(1) 圆的参数方程： x=rcos,y=rsin (2) 椭圆的参数方程：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆1(ab0)的参数方程是(为参数，且02)椭圆1(ba0)的参数方程是(为参数，且02)(3)双曲线的参数方程(了解就行)中心在原点，坐标轴为对称轴的双曲线的参数方程有以下两种情况：双曲线1的参数方程为(为参数)；双曲线1的参数方程为(为参数)(4)抛物线的参数方程：抛物线y22px(p0)的参数方程为(p0，t为参数，tR)其中p的几何意义为：焦点到准线的距离；其中参数t为该抛物线y22px(p0)上任一点P与抛物线顶点O所连直线OP的斜率的倒数，设抛物线上任一点P(x，y)，有t.5直线参数方程的形式过定点M0(x0，y0)、倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，称为直线参数方程的标准形式，其中t为参数参数t的几何意义：表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量M0M.6、应试策略：由于极坐标与参数方程是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，所以必须掌握好与以上相关内容如辅助角公式：，其中，当，即，时，有最大值；当，即，时，有最小值典型例题解析考点一 极坐标与平面直角坐标的互化1（14新2）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D的坐标.2（14辽宁）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（1）写出C的参数方程；（2）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.3 (2010广东)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(，)(02)中，曲线(cossin)1与(sincos)1的交点的极坐标为_解析将极坐标方程化为直角坐标方程为xy1和yx1，联立解得交点坐标为(0,1)，1，交点极坐标为.考点二 参数方程1(14新1) 已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程（）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值2（14湖南）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线（为参数）交于两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是 .3（14湖北）已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为_4（14重庆）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos=0（0，02），则直线l与曲线C的公共点的极径=_5（14福建）已知直线L的参数方程为 x=a-2ty=-4t(t为参数 )，圆C的参数方程为x=4cosy=4sin(1)求直线L和圆C的普通方程;(2)若直线与圆有公共点，求实数a的取值范围。 6 (人教版44,2.1第4题改编)将(为参数，0，)代为普通方程_；它表示轨迹是_7（09海南宁夏） 已知曲线： （为参数），：（为参数）（）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线：（为参数）距离的最小值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（）由曲线：（为参数）得，两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为：为圆心是，半径是1的圆由曲线：（为参数）得，两式平方相加消去参数，得曲线的普通方程为： 为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）因为上的点对应的参数为，故，又为上的点，所以，故中点为由：（为参数）消去参数知，为直线，则到的距离.5.u.c.o.m 从而当，时，取得最小值练习1（2010新课标）已知直线：（为参数），圆： （）当时，求与的交点坐标；（）过坐标原点作的垂线，垂足为，为中点当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线解：（）因为直线：（为参数）表示过定点，倾斜角为的直线，所以当时，的普通方程为，圆：（为参数）是圆心在圆点半径为的圆，的普通方程为联立方程组 ，解得与的交点为，（）由（）的普通方程为，即（或由直接消去参数可得）又直线垂直，所以直线的方程为联立方程组，解得点坐标为，为的中点，故当变化时，点轨迹的参数方程为： 由得，即，两式平方相加得，点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为，半径为的圆2坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。考点三 参数方程的应用（求最值）例3-1 实数x、y满足1，试求xy的最大值与最小值，并指出何时取得最大值与最小值例3-2已知某圆的极坐标方程是，求（1）求圆的普通方程和一个参数方程；（4分）（2）圆上所有点中的最大值和最小值.（6分）练习（2012新课标）已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.()求点A,B,C,D的直角坐标； ()设P为上任意一点，求的取值范围.【解析】()由已知可得，即A(1，)，B（，1），C（1，），D（，1），()设，令=，则=，的取值范围是32,52.考点四直线参数方程的应用注意: 过定点M0(x0，y0)、倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)，称为直线参数方程的标准形式，其中t为参数参数t的几何意义：表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量M0M.例4-1、在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（）求圆C的直角坐标方程；（）设圆C与直线交于点A、B，若点P的坐标为，求|PA|+|PB|.解法一：（）由，得，即（）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即由于，故可设是上述方程的两实根，所以又直线过点，故由上式及的几何意义得练习1 在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为：，直线与曲线分别交于（）写出曲线和直线的普通方程； （）若成等比数列,求的值解：（）（）直线的参数方程为（为参数）,代入得到, 则有.因为,所以解得 .10分练习2已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为 （）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离达标练习1、(2012辽宁) 在直角坐标中，圆，圆。 ()在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)； ()求圆的公共弦的参数方程。2（辽宁）坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。3、（辽宁）已知P为半圆C：（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.（）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（）求直线AM的参数方程.4（2011全国新课标）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线（）求的方程；（）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求5.在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点. () 写出直线的参数方程;() 求 的取值范围.（） 为参数）（） 为参数）代入，得 ， 6在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为