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第七章 离散时间系统的时域分析7-1 概述一、 离散时间信号与离散时间系统 离散时间信号:只在某些离散的时间点上有值的信号。n 这些离散的时间点之间的间隔可以相等,也可以不等;n 一般情况下都是讨论等间隔的信号。n 本课程中的离散信号都是等间隔离散时间信号。 离散时间系统:处理离散时间信号的系统。 混合时间系统:既处理离散时间信号,又处理连续时间信号的系统。二、 连续信号与离散信号的关系 连续信号可以转换成离散信号,从而可以用离散时间系统(或数字信号处理系统)进行处理:n 为什么这么做? 因为要使用计算机、数字电路或者数字信号处理器处理我们在实际应用中遇到的信号; 而计算机、数字电路或者数字信号处理器只能处理离散的时间序列。 离散处理方式可以得到很多连续系统难于达到的效果,例如精度,抗干扰能力等三、 离散信号的表示方法:1、 时间函数:f(k)f(kT),其中k为序号,相当于时间。例如:2、 (有序)数列:将离散信号的数值按顺序排列起来。例如:有时需要标出k=0的点: 时间函数可以表达任意长(可能是无限长)的离散信号,可以表达单边或双边信号,但是在很多情况下难于得到; 数列的方法表示比较简单,直观,但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号1、 单位样值函数:下图表示了的波形。 这个函数与连续时间信号中的冲激函数相似,也有着与其相似的性质。例如:,。2、 单位阶跃函数: 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数相似。用它可以产生(或表示)单边信号(这里称为单边序列)。3、 单边指数序列:(a) (d) (b) (e) (c) (f) 比较:单边连续指数信号:,其底一定大于零,不会出现负数。4、 单边正弦序列:双边正弦序列:五、 离散信号的运算1、 加法:0时,信号向右移(后移)称为减序;当n称为增序。 离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。 从后面的内容可以看到,移序计算在性质上又与连续时间系统中的微分特性更加相似。六、 线性移不变离散时间系统1、 线性离散时间系统系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。2、 移不变离散时间系统 系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 3、 线性移不变离散时间系统同时满足线性和移不变性的系统。 七、 离散时间系统的描述方法:见后面7-3。7-2 抽样信号与抽样定理离散信号可以通过对连续信号抽样得到;连续信号可以通过抽样转化为离散信号,从而可以用离散时间系统进行处理。但是,这牵涉到两个问题:1) 用什么方法进行抽样?2) 如何抽样才能不损失原来信号中的信息? 抽样的实际过程实际上很简单,就是一个“分时测量”的过程,但是这很难从数学上进行分析。所以这一节主要是介绍数学上的抽样方法。 数学上的抽样与前面讲过的“脉冲幅度调制”原理相同。一、 抽样器及其数学模型 抽样是通过一定的装置(等间隔地)抽取原来连续信号中的很小的一段。其等效电路 它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示,其中的开关函数为:当时,开关函数近似为: 可见,开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析带来不便,所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它,即:这样,抽样以后的信号为:(a) 开关函数 (b)单位冲激序列 显然,抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。二、 抽样定理 利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号,是否会损失信息?或者,在何条件下,可以用抽样后的信号,不失真地还原出原来的信号?1、 抽样信号的频谱:其中,称为抽样(角)频率;T称为抽样(取样)周期。可见,抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样(角)频率周期化的结果。(a) 原信号 (b) 原信号的频谱(c)单位冲激序列 (d)单位冲激序列的频谱 ()(e) (f) 的频谱 如果原来信号最大频率分量为的谱,抽样频率,则周期化后的各个频谱不会相互重叠。 在上述的前提下,将抽样信号通过一个截止频率为、增益为T的ILPF,可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应:则这个定理称为Nyquist抽样定理,或Shannon抽样定理。它说明模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出,也就是说在时,用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率称为Nyquist抽样频率,或Shannon抽样频率。l 在实际工程中的做法与取样中的过程正好相反:首先测量得到f(kT),然后再构成抽样信号。工程上的采样就是指测量到kT时刻f(t)的值。l 在构成抽样信号时,不可能产生冲激信号,这时候可以用任意的周期性脉冲信号代替,其结果不变。l 恢复信号时,ILPF是不可能实现的,只能用其它的LPF,所以抽样频率必须进一步增加,一般取的35倍。抽样信号经过非理想低通滤波器l 如果原来的信号是一个带限信号,则Nyquist抽样定理还可以做适当修改。l 抽样也是一个线性处理过程,它满足齐次性和叠加性。这是我们通过它达到用离散时间系统处理连续信号的基础。l 通过抽样可以将连续信号转化为离散数字信号,从而可以用数字信号处理系统进行处理,达到模拟信号处理无法达到的效果。采样e(t)r(t)A/D转换DSP处理D/A转换LPF滤波7-3 离散时间系统的描述离散时间系统的描述方法有三种:1) 数学模型差分方程2) 物理模型框图3) 系统函数Z.T.,在第八章中介绍。一、 数学模型离散时间系统处理的信号是离散信号,信号只在某些不连续的时间点上存在,不存在微分,也就不可能用微分方程描述,只能用差分方程描述离散信号相邻的几个时间点之间的关系。例1:人口(或虫口)问题:l 假设人口的年出身率为a,则k年人口y(k)和下一年的人口y(k+1)之间的关系为: 前向(预测)方程;或:后向(滤波)方程;或:假设:已知,则:; 分析上面的结论: 原方程可以用移序算子表示为:可以仿照微分方程求解方法,定义系统的特征方程为:其特征根为。观察方程的解,其中中就有。结合在求解微分方程中的一些结论,可以分析出求解一般的差分方程的零输入响应的基本思路,猜想它应该有下面的形式:其中为差分方程的特征根。2、n阶系统与微分方程求解方法相似,也分为以下几部:(1) 求特征方程即H(S)的分母多项式D(S)=0根(特征根)、;(2) 根据D(S)=0的根,确定r(k)的形式解:a、 假设D(S)=0没有重根,则其形式解为: b、 假设D(S)=0有重根,假设是一个m重根,则形式解为: 其余情况以此类推。(3) 带入初始条件,确定待定系数。对于一般差分方程,初始条件为。将它带入形式解中,可以得到n元一次线性方程组:由此不难确定待定系数。例:求解Fibonacci数列。其差分方程为:y(n+2)-y(n+1)-y(1)=0特征方程为:特征根为:,所以,齐次差分方程的形式解为:带入初始条件y(0)=0,y(1)=1,有: 三、 特征根与系统稳定性在离散系统信号处理中,同样需要满足稳定性条件。系统的响应不应该随着而趋向无穷大,而应该是一个有限的值。所以,对于系统的零输入响应中的各个分量,都应该随而有限。1、 当时,(有重根时),系统稳定。2、 当时,1) 如果没有重根,系统临界稳定;2) 有重根时, ,系统不稳定。3、 当时,系统不稳定。是一个复数,可以在复平面上表示为一个点。复平面上每一个点都对应一个信号模式。系统稳定性要求特征根全部在一个以原点为圆心、半径为1的圆单位圆的内部,在单位圆上最多只能有单根。比较:连续时间系统的稳定条件。7-5 离散时间系统的零状态响应的解法:1) 经典法:分通解和特解两部分分别求解。2) 时域卷积和法:类似于连续时间系统中的卷积积分方法。3) 变换域法:Z.T. ,类似于L.T.本节介绍卷积和法。一、 离散信号的时域分解 选用子信号单位函数,可以将离散时间信号分解为很多个单位函数之和:引入卷积和计算:则可以将上式简记为:二、 的求解假设线性移不变系统对的响应(单位函数响应)是,则:对的响应是,移不变 对的响应是,齐次性响应是,r(0)=2 h(1-k):3 2 1r(1)=5 h(2-k): 3 2 1r(2)=13 h(3-k): 3 2 1r(3)=13 h(4-k): 3 2 1r(4)=15 h(5-k): 3 2 1r(5)=0 h(6-k): 3 2 1r(6)=0所以,r(k)=2,5,13,13,15 从此例可见,有限长序列的卷积和仍然是有限长序列。2) 多项式乘法 e(k): 2, 1, 5* h(k): 1, 2, 3 6, 3,15 4, 2,10 2, 1, 5 2, 5, 13,13,15 r(k) 这种方法的数学原理可以用后面的z变换解释; 该方法只能计算有限长的序列的卷积和; 该方法在进行有始序列的卷积和计算时比较方便; 如果序列的起点不是0,也可以用这个方法,但是结果中对应于k=0的点需要仔细确定;3) 阵列法:21512 152421036315各对角线元素相加,可以得到结果。3、 卷积和的性质:卷积和有很多与卷积积分相似的性质。其中最重要的是移序特性(相当与卷积积分中的时移或微积分特性):如果,则:四、 h(k)的求解方法:有四种:1)递推法(数值解法) 2)祘子法 3)初始条件法 4)系统函数法(ZT)这里仅介绍祘子法。1、 祘子法(部分分式分解)在离散系统中,同样可以利用转移祘子,通过部分分式分解的方法,将高阶系统分解为多个低阶系统之和,解出单位函数响应。其分解方法与连续时间系统中的部分分式分解法相似。这里同样要分几种情况讨论:1) 如果mn时,系统为非因果系统。这里不予考虑。 离散时间系统因果性判据与连续时间系统相似,要求其单位函数响应是一个有始信号。 从差分方程或者转移算子判定系统离散时间系统的因果性的方法比较简单,只要其转移算子H(S)的分子多项式的次数小于等于分母多项式的次数就可以了。如果不满足一定是一个非因果系统。例如,系统对应的系统差分方程为:以k=0代入可以得到:显然,这表示系统在k=2时刻的输入影响到系统k=1时刻的输出,显然这是不满足因果性。如果能够得到各个低阶子系统的单位函数响应,将其相加,就可以得到系统的单位函数响应。2、 子系统的单位函数响应1) 一阶离散系统:对应的差分方程:。或:a、 k应该将其中的零状态响应部分减去后再带入零输入响应。2) 直接是系统零输入响应部分的值,即和。 这样可以直接用其求解零输入响应,求解简单了。但是在实际情况下很难得到这种初始条件值。3) 有的资料上给出的初始条件是r(-1),r(-2)等。这时候它一定属于零输入响应。7-6 离散时间系统与连续时间系统时域分析方法比较离散时间系统与连续时间系统时域分析方法非常相似,但是也有一些差异。其基本形式相同,但是含义或概念不同。一、 时域分析方法比较1、 系统描述方面:1) 数学模型:连:微分方程离:差分方程:2) 祘子表示:连:引入微分祘子p或:离:引入移序祘子S3) 物理模型(框图):a、 基本运算单元:连:加法器,标量乘法器,积分器离:加法器,标量乘法器,移序(延时)器b、 结构两者类似,只要将积分器与移序(延时)器互换。2、 求解方法:1) 种类:连:经典法,近代时域法,变换域法离:经典法,近代时域法,变换域法,递推法2) 近代时域法:都是通过解零输入响应和零状态响应两部分(1) 求解a、 列特征方程:连:离:b、 特征

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