三十五 图形的对称性.doc

三十五 图形的对称性冬天，漫天飞舞的雪花给大地披上了银装；在春暖花开的时节，那一对对粉蝶翩翩起舞于花丛之中这情、这景是多么优美，惹人喜爱，令人陶醉！如果我们仔细地看一看就会发现：呈六角形的雪花和蝴蝶双翅上的花纹都是对称的（图35-1）在自然界里到处可以看到对称的图形，比如：人体的外形呈左右对称；各种花卉以及许多动植物图见图35-2在自然界展示的琳琅满目的对称图案中，既有“上帝”赐予的，也有人类的功劳在征服自然、改造自然的过程中，经过长期的社会实践，人们逐渐认识到对称的物体美观大方、受力均匀、平衡稳定，并且建造起来也方便于是便设计、制造了大量的对称物体：小到日用器皿、工艺美术品；大到古老和近代大型建筑；乃至于现代高科技产品；无一不是上述基本思路的产物比如在我们伟大的首都北京，天安门城楼庄严浩然地矗立于天安门广场，它采用的就是对称图形（图35-3）关于对称，以上我们作了那么多议论，但是什么是对称？它有什么特性？要回答这些问题并不那么简单，还必须深入地研究一番才行所谓对称，顾名思义就是两个物体或图形的位置是相对且相称的数学中对称的概念，不但赋予了准确的涵义，而且比生活直觉中理解的对称概念要广泛得多对称的种类较多，本节仅谈几种最常见的对称及其简单应用1轴对称：当平面上两个图形当中有一条直线l，在l一边的图形绕l旋转180后，能与另一个图形完全重合，那么就称这两个图形关于l是对称的，l叫对称轴例如图35-4中，ABC与ABC关于直线DE是对称的，虚线左边的半盆花与右边的半盆花也是对称的2中心对称：设平面上两个图形当中有一个定点O，当其中一个图形在平面上绕O点旋转180后能完全与另一图形重合，那么这两个图形就称为关于O对称的，点O叫对称中心如图35-5中，四边形ABCO与四边形ABCO关于O是对称的；风扇的两片叶子关于轴心也是对称的对称还可以向空间推广：3镜面对称：若两个立体的东西或图形之间有一个平面，当此平面一侧的物体连同此平面在空间转180后与另一个物体完全重合，那么这两个物体被称作关于平面是对称的，叫对称平面由于照镜子是一个非常典型的面对称的例子（镜子就是对称平面），故面对称通常也叫镜面对称，见图35-6镜面对称和轴对称是有联系的照镜子时，如果我们只取人体的侧面，那么镜面就可以用一条直线来表示，人和镜中的像便成了轴对称图形了可见轴对称是镜面对称的特例，故人们有时把轴对称也叫镜面对称问题351（1）两个全等的图形是否一定是对称图形？（2）判断图35-7中哪几个图形是对称图形解（1）两个全等的图形不一定是对称图形要判断两图形是不是对称的，到目前为止唯一的办法是依据定义，看两图形的位置，在绕轴或中心旋转180后是否完全重合（2）图35-7中只有图（2）、（3）是对称图形问题352在图35-8中，（1）哪些图形是对称的， 哪些不是？（2）如果是对称图形，它属于哪一类对称？（3）请指出对称图形的轴（或中心），并说说有多少根轴（或多少个中心）？解 （1）图35-8中全是对称图形（2）图中所有的图形全是轴对称图形，且图（2）、（3）、（4）、（5）、（6）还是中心对称图形（3）所有图的对称轴如图虚线所示图（1）仅1条对称轴；图（3）、（5）有2条对称轴；图（6）有4条对称轴（对角线也是）；图（4）有6条对称轴；图（2）中任一条直径都是它的对称轴，因而有无穷多条对称轴对于上述的中心对称图形，图中O即为其中心中心总是唯一的问题353平行四边形是否为轴对称图形？是否为中心对称图形？问题354图35-9是某宫殿的照片问它是否为对称图形？若是，请指出它属哪一类？解若把它看成平面图形则它是轴对称的，若把它看成立体图则它是镜面对称的上面我们对对称作了较多的议论我们不仅知道什么是对称和会判断几种类型的对称，而且初步知道对称具有观赏价值、美学价值但是对称还有哪些特性？为什么要研究对称以及如何用对称知识解决现实中提出的大量问题？这些显然是我们最关心的问题先从研究对称的特性开始：性质1镜面对称（轴对称）的两点的连线与镜面（轴）垂直，且到镜面（轴）的距离相等性质2中心对称的图形中，过中心的直线总把图形分成形状和面积相等的两部分由以上两个性质可知，对称的两个图形的形状、大小（包括相应的线段长和面积）是一样的依据这一点我们就可以在证明问题的时候作某个图形的对称图形，从而把图形移位，使条件集中还可以由一个对称图形的一半或一角想象（或作出）它的全貌问题355已知图35-10（1）中，ABCDEF是半个蝴蝶，试画出整个蝴蝶来图 35-10分析 由常识知蝴蝶是轴对称图形，因此完全可以见一半而知全貌而要画出完整的蝴蝶来，由对称图形的性质只需要画A、B、C、D、E、F关于l的对称点就行了因为A、F在l上，其对称点就是本身，只需作B、C、D、E的对称点解过B点作与l垂直的直线交l于O，在此直线上截取OB=OB，即B为B的对称点同样可作C、D、E的对称点C、D、E，并连结FE、ED、DC、CB、BA，即得完整的蝴蝶问题356小宝与小英决定做一个剪纸游戏，他们比赛用硬纸做一只小白兔（如图35-11（1）他们同时拿出剪刀，分别在两张画好了图案的硬纸片（如图35-11（2）上剪下兔子的身子、前脚、后脚和耳朵，再沿虚线对折，按甲、乙、丙插口插合起来就做成了一只可爱的小白兔了由于小英经常作剪纸训练，她想，我肯定比小宝剪得快可是比赛结果是小宝比小英快得多，这大大地出乎小英和其他人的意料同学们，你能说说这是什么原因吗？分析原来小英在沿图线剪时，小宝没动手，他在对图进行观察当发现了兔子的前脚、后脚、耳朵都是对称图形这一特点时，他先将这几部分对折起来再剪，就只剪虚线一边的图形就行了，这样他当然快多了小英和其他的人这才恍然大悟他们这才真正懂得了一个道理：一个人做事，只有运用了聪明、智慧才能出奇制胜于是，小英继续开动脑筋，她有多条对称轴，是否可以剪更少就能完成呢？通过细心的探索，小英终于发现了下面的规律：结论1一个面积为S的图形，若有n条对称轴，那么它一定可由图中面结论2若一个图形可由其中一部分通过n次作对称图不重叠地画成，那几个星期以后，在一次手工劳动课上，老师又出了下面的一道题目，小英这次决心再与小宝比一比问题357在如图35-12的硬纸带上画有六个三角形如果2秒钟剪一剪刀，问剪下这些三角形最快需要多少时间？图 25-12分析 其他同学都在逐个地剪下三角形，显然要剪18次，需36秒钟小宝观察到l为对称轴，三角形4、5、6是三角形1、2、3的对称图形，于是他沿l对折后再剪，只需18秒钟小宝想，我肯定又稳操胜券小英看了一下图，发现2可由作1关于l1的对称图作出；3可由2作关于l2的对称图作出；而三角形4、5、6可由作三角形1、2、3关于l的对称图作出再想一想结论2，她便知道作出原图形最多只需要面是她把原纸片折成如图35-13的形状，只剪了三剪刀，即6秒钟就完成了任务问题358（1）由结论1，面积为16平方厘米的正方形可由面积为多少的部分图形最多几次作对称图形不重叠地作成？（2）（1）中的正方形实际只要几次作对称图就行了？问题359把一块长方形的蛋糕切成全等的两部分，问有多少种切法？分析 长方形有两根对称轴，我们最容易想到的是沿对称轴切开另外，还可试试沿对角线切开，也将取得成功图35-14再继续往前想：以上沿对称轴和对角线切时，都通过了对称中心O（图35-14）那么是否凡通过O的一刀都能把蛋糕切成相等的两部分呢？答案是肯定的事实上，这就是性质2陈述的事实练习351图35-15是同一水平面放置的两个大小相同的台