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2 3抛物线2 3 1抛物线及其标准方程 如图 点F是定点 L是不经过点F的定直线 H是L上任意一点 过点H作MH L 线段FH的垂直平分线m交MH于点M 拖动点H 观察点M的轨迹 你能发现点M满足的几何条件吗 抛物线的定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点F叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 MF d d为M到l的距离 准线 焦点 d 抛物线的定义 即 若 MF d 则点M的轨是抛物线 思考问题当定点F在定直线L上时 动点M到F的距离等于M到L的距离 则点M的轨迹是什么 答案 过F且与L垂直的直线 那么如何建立坐标系 使抛物线的方程更简单 其标准方程形式怎样 F M 抛物线的标准方程 解 设 FK p p 0 M x y 由抛物线定义知 MF d 即 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 而p的几何意义是 焦点到准线的距离 总结 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 P的意义 抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点 1 左边是二次式 2 右边是一次式 四种抛物线的对比 思考 如何通过方程确定抛物线的焦点位置和开口方向 例1已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 解 2P 6 P 3 抛物线的焦点坐标是 0 准线方程是x 练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 20 x 2 x2 y 3 2y2 5x 0 4 x2 8y 0 5 0 x 5 0 2 y 2 你能说明二次函数的图象为什么是抛物线吗 指出它的焦点坐标 准线方程 当a 0时与当a 0时 结论都为 思考 例2 1 已知抛物线的焦点是F 0 2 求它的标准方程 2 已知抛物线过点 3 4 求它的标准方程 解 因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 且 2 p 4 所以 所求抛物线的标准方程是 练习 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是 3 焦点到准线的距离是2 1 抛物线上一点M到焦点距离是 则点M到准线的距离是 点M的横坐标是 2 抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是 变式训练 例3 一种卫星接收天线如下图所示 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线 经反射聚集到焦点处 已知接收天线的径口 直径 为4 8m 深度为0 5m 建立适当的坐标系 求抛物线的标准方程和焦点坐标 解 如图 在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系 使接收天线的顶点 即抛物线的顶点 与原点重合 即 所以 所求抛物线的标准方程是 焦点的坐标是 3 抛物线的标准方程类型与图象特征的对应关系及判
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