【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第10章 算法初步、推理与证明10．4直接证明与间接证明教学案 苏教版.doc

10.4直接证明与间接证明1了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法；了解综合法和分析法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点1直接证明(1)综合法定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法综合法推导过程：.(2)分析法定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件吻合为止这种证明方法常称为分析法分析法推导过程：.2间接证明反证法：假设原命题_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法反证法的步骤：(1)反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；(2)归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立1.与2的大小关系为_2已知abc，且abc0，则与a的大小关系为_3用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，应假设_4设ta2b，sab21，则t和s的大小关系为_5在正项等比数列an和正项等差数列bn中，a1b1，a3b3，a1a3，则a5与b5的大小关系为_1分析法证明命题的特点是什么？提示：如果要证明的命题是“若a，则b”，那么分析法的思维过程是欲证结论b成立，需寻找b成立的充分条件c，c成立的充分条件d，如此逐层上溯，如果能发现一条从结论b上接已知条件a的逻辑通道，就得到“bcda”的证明思路分析法的特点是执果索因，步步寻求命题成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”2用反证法证明问题应注意哪些问题？提示：用反证法证题时必须注意以下几个问题：(1)必须正确地“否定结论”，这是运用反证法的前提；(2)在添加补充“假设”后，由原命题条件及结论的否定出发进行推导，整个推理过程必须准确无误，否则不是推不出矛盾，就是无法判断所得结论是否正确3分析法和综合法证明数学问题时，选择哪种方法好？提示：运用综合法叙述推理过程，简明扼要，条理清楚，但是，前进的道路往往不止一条，所以每逢歧路，选择甚难，有时从条件出发，想不到从何处入手才有效；而分析法执果索因，寻根容易，便于思考所以，几何证明题在探索途径时，分析法优于综合法；在表述方面，分析法不如综合法在实际解题时，常常需要把分析法与综合法综合使用一方面执果索因，追溯待证结论成立所需要的条件，另一方面由因导果，探索由已知条件必然产生的种种结果，当两种思路接通时，问题便得到解决一、综合法【例1】已知函数f(x)(xr)(1)已知函数yg(x)的图象与函数yf(x)的图象关于直线x1对称，证明：当x1时，f(x)g(x)；(2)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，证明：x1x22.方法提炼综合法也称“顺推证法”或“由因导果法”，其特点是：从已知条件和某些学过的定义、公理、定理等出发，通过推理得出结论综合法的应用十分广泛，熟练掌握各个判定定理和性质定理成立的条件是用综合法证题的关键请做针对训练1二、分析法【例2】已知m0，a，br，求证：2.方法提炼分析法的特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等运用分析法必须考虑条件的必要性是否成立通常采用“欲证只需证已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范请做针对训练2三、反证法【例3】已知f(x)x2axb.(1)求：f(1)f(3)2f(2)；(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.方法提炼结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”形式的不等式，或直接从正面入手难以寻觅解题的突破口的问题，宜考虑使用反证法用反证法证明命题时，推导出的矛盾可能多种多样有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实相违背等等，推导出的矛盾必须是明显的请做针对训练3本节在高考中一般不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，作为一种方法考查有关内容该部分命题的方向主要在函数、三角恒等变换、数列、立体几何等方面，以考查综合法为主，重点考查运算能力与逻辑推理能力1(2012江苏徐州高三调研)如图，在直三棱柱abca1b1c1中，abac，点d是bc的中点(1)求证：a1b平面adc1；(2)如果点e是b1c1的中点，求证：平面a1be平面bcc1b1.2已知a，b，m都是正数，且ab.求证：.3已知a，b，c是互不相等的非零实数，求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0中至少有一个方程有两个相异实根参考答案基础梳理自测知识梳理2不成立矛盾基础自测1.2解析：先比较()2与(2)2的大小2.a解析：由abc，abc0，得a0，c0，1.从而2213，即b2ac3a2.3三角形的内角都大于604st解析：stab21a2b(b1)20，st.5a5b5解析：由a1a3，得b1b3，所以b1b5.an0，bn0，a3b3，即，又a1b1，所以a5b5.考点探究突破【例1】 证明：(1)由题意得g(x)f(2x)(2x)ex2.令f(x)f(x)g(x)(x2)ex2，则f(x).当x1时，2x20，从而e2x210，又ex0，所以f(x)0，从而函数f(x)在1，)上是增函数又f(1)0，所以f(x)f(1)0，即f(x)g(x)(2)由f(x)0，得x1.因为x(，1)时，f(x)0；x(1，)时，f(x)0，所以f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数，于是由x1x2且f(x1)f(x2)，不失一般性令x11，x21.由(1)知f(x2)g(x2)f(2x2)，从而f(x1)f(2x2)，因为x21，所以2x21，所以x12x2，即x1x22.【例2】证明：m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证【例3】(1)解：f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，f(1)f(3)2f(2)2.(2)证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则f(1)，f(2)，f(3)，12f(2)1，1f(1)f(3)1.2f(1)f(3)2f(2)2，这与f(1)f(3)2f(2)2矛盾假设错误，即所证结论成立演练巩固提升针对训练1证明：(1)连结a1c交ac1于点o，连结od.在a1bc中，a1bod，又od平面adc1，a1b平面adc1，所以a1b平面adc1.(2)直三棱柱abca1b1c1中，c1c平面abc，c1cad.又在abc中，adbc，ad平面bcc1b1.连结de，点e是b1c1的中点，在直三棱柱abca1b1c1中，四边形b1bde为平行四边形，b1b綊ed，又b1b綊a1a，ed綊a1a，四边形a1ade为平行四边形a1ead，于是a1e平面bcc1b1.又a1e平面a1be，平面a1be平面bcc1b1.2证明：要证明，由于a，b，m都是正数，只需证a(bm)b(am)，只需证ambm.由于m0，所以只需证ab.已知ab，所以原不等式成立3证明：假