安徽省2003-2015中考数学压轴题(含解析)

1.（2003安徽）如图，这些等腰三角形与正三角形的形状有差异，我们把这与正三角形的接近程度称为“正度”。在研究“正度”时，应保证相似三角形的“正度”相等。设等腰三角形的底和腰分别为a，b，底角和顶角分别为，。要求“正度”的值是非负数。同学甲认为：可用式子|a-b|来表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；同学乙认为：可用式子|-|来表示“正度”，|-|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形。探究：（1）他们的方案哪个较合理，为什么？（2）对你认为不够合理的方案，请加以改进（给出式子即可）；（3）请再给出一种衡量“正度”的表达式解：（1）同学乙的方案较为合理。因为|-|的值越小，与越接近600，因而该等腰三角形越接近于正三角形，且能保证相似三角形的“正度”相等。 2分同学甲的方案不合理，不能保证相似三角形的“正度”相等。如：边长为4，4，2和边长为8，8，4的两个等腰三角形相似，但|2-4|=2|4-8|=4 6分（2）对同学甲的方案可改为用 等（k为正数）来表示“正度” 10分（3）还可用 等来表示“正度”说明：本题只要求学生在保证相似三角形的“正度”相等的前提下，用式子对“正度”作大致的刻画，第（2）、（3）小题都是开放性问题，凡符合要求的均可。理科实验班试题（共两小题，每小题10分，共20分）解：（1）满足要求的分配方案有很多，如： 学校 12345678910 名额 1112223377 2分（2）假设没有3所学校得到相同的名额，而每校至少要有1名，则人数最少的分配方案是：每两所学校一组依次各得1，2，3，4，5个名额，总人数为2（1+2+3+4+5）=30。但现在只有29个名额，故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相同。 6分（3）假设每所学校分得的名额都不超过4，并且每校的名额不少于1，则在分到相同名额的学校少于4所的条件下，10所学校派出的选手数最多不会超过34+33+32+11=28，这与选手总数是29矛盾，从而至少有一所学校派出的选手数不小于5。 10分2.（2004安徽）形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：图仿上面图示的方法，回答下列问题：操作设计：如图对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。如图对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。图图方法一：方法二略。3、（2005安徽）在一次课题学习中活动中，老师提出了如下一个问题：点P是正方形ABCD内的一点，过点P画直线l分别交正方形的两边于点M、N，使点P是线段MN的三等分点，这样的直线能够画几条？经过思考，甲同学给出如下画法：如图1，过点P画PEAB于E，在EB上取点M，使EM=2EA，画直线MP交AD于N，则直线MN就是符合条件的直线l根据以上信息，解决下列问题：（1）甲同学的画法是否正确？请说明理由；（2）在图1中，能否画出符合题目条件的直线？如果能，请直接在图1中画出；（3）如图2，A1，C1分别是正方形ABCD的边AB、CD上的三等分点，且A1C1AD当点P在线段A1C1上时，能否画出符合题目条件的直线？如果能，可以画出几条？（4）如图3，正方形ABCD边界上的A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2都是所在边的三等分点当点P在正方形ABCD内的不同位置时，试讨论，符合题目条件的直线l的条数的情况解答：解：（1）的画法正确；PEAD，MPEMNA，MPMN=MEMA，EM=2EA，MP：MN=2：3，点P是线段MN的一个三等分点（2）能画出一个符合题目条件的直线，在EB上取M1，使EM1=12AE，直线M1P就是满足条件的直线，图2；（3）若点P在线段A1C1上，能够画出符合题目条件的直线无数条，图3；（4）若点P在A1C1，A2C2，B1D1，B2D2上时，可以画出无数条符合条件的直线l；当点P在正方形A0B0C0D0内部时，不存在这样的直线l，使得点P是线段MN的三等分点；当点P在矩形ABB1D1，CDD2B2，A0D0D2D1，B0B1B2C0内部时，过点P可画出两条符合条件的直线l，使得点P是线段MN的三等分点4.（2006安徽）如图（ l ） ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足APD APB =。且B P C CPD ，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点 ( l )在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足。( 2 )在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） . ( 3 )若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ） ） ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。 5.(2007安徽)如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BCCD，BAD和CDA均为锐角，点P是对角线BD上的一点，PQBA交AD于点Q，PSBC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形。（1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若ABD90，求证：ABRCRD；（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？5.（1）证明：ABD=90，ABCR，CRBD BC=CD，BCR=DCR2分四边形ABCR是平行四边形，BCR=BARBAR=DCR4分又AB=CR，AR=BC=CD，ABRCRD6分（2）由PSQR，PSRD知，点R在QD上，故BCAD。8分又由AB=CD知A=CDA 因为SRPQBA，所以SRD=A=CDA，从而SR=SD。9分由PSBC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR，所以SR=SD=RD 故CDA=60。11分因此四边形ABCD还应满足BCAD，CDA=6012分（注：若推出的条件为BCAD，BAD=60或BCAD，BCD=120等亦可。）6.（2008安徽） 已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC。第22题图2第22题图1（1）如图1，若点O在BC上，求证：ABAC；【证】（2）如图2，若点O在ABC的内部，求证：ABAC；【证】（3）若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示。【解】2.证明：（1）过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFCBC，从而ABAC。3分（2）过点O分别作OEAB，OFAC，EF分别是垂足，由题意知，OEOF。在RtOEB和RtOFC中，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFE。OBEOCF，又由OBOC知OBCOCB，ABCACD，ABAC。9分解：（3）不一定成立。10分（成立）（不成立）（注：当A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有ABAC；否则，ABAC，如示例图）7.（2008安徽）刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0a3）小时再往A镇参加救灾。一分队了发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4a）千米/时。若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？【解】若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？【解】下列图象中，分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。7.解：（1）若二分队在营地不休息，则a0，速度为4千米/时，行至塌方处需（小时）因为一分队到塌方处并打通道路需要（小时），故二分队在塌方处需停留0.5小时，所以二分队在营地不休息赶到A镇需2.5+0.5+8（小时）3分（2）一分队赶到A镇共需+17（小时）（）若二分队在塌方处需停留，则后20千米需与一分队同行，故4+a5，即a=1，这与二分队在塌方处停留矛盾，舍去；5分（）若二分队在塌方处不停留，则（4+a）(7a)=30，即a23a+20,解得a1=1，a2=2均符合题意。答：二分队应在营地休息1小时或2小时。（其他解法只要合理即给分）8分(3)合理的图像为（b）、（d）. 12分 图像（b）表明二分队在营地休息时间过长（2a3），后于一分队赶到A镇；图像（d）表明二分队在营地休息时间恰当（1a2），先于一分队赶到A镇。14分8.（2009安徽）如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交BC于GABMFGDEC（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长8（1）证：AMFBGM，DMGDBM，EMFEAM（写出两对即可）2分以下证明AMFBGMAFMDMEEAEBMG，ABAMFBGM6分（2）解：当45时，可得ACBC且ACBCM为AB的中点，AMBM7分又AMFBGM，9分又，12分9（2009安徽）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示金额w（元）O批发量m（kg）300200100204060（1）请说明图中、两段函数图象的实际意义O60204批发单价（元）5批发量（kg）第9题图（1）O6240日最高销量（kg）80零售价（元）48（6，80）（7，40）（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大金额w（元）O批发量m（kg）3002001002040602409（1）解：图表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果，可按5元/kg批发；3分图表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发3分（2）解：由题意得：，函数图象如图所示7分由图可知资金金额满足240w300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果8分（3）解法一：设当日零售价为x元，由图可得日最高销量当m60时，x6.5由题意，销售利润为12分当x6时，此时m80即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，当日可获得最大利润160元14分解法二：设日最高销售量为xkg（x60）则由图日零售价p满足：，于是销售利润12分10.（2010安徽）如图，已知ABC，相似比为（），且ABC的三边长分别为、（），的三边长分别为、。若，求证：；若，试给出符合条件的一对ABC和，使得、和、进都是正整数，并加以说明；若，是否存在ABC和使得？请说明理由。第11题图11.（2011安徽）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h10，h20，h30）. (1)求证h1=h3； 【解】 (2) 设正方形ABCD的面积为S.求证S=（h2+h3）2h12；【解】(3)若,当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.【解】11. （2011安徽）（1）过A点作AFl3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CHl2分别交l2、l3于点H、G，证ABECDG即可.（2）易证ABEBCHCDGDAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以.(3)由题意，得 所以又 解得0h1当0h1时，S随h1的增大而减小； 当h1=时，S取得最小值；当h1时，S随h1的增大而增大.12.（2012安徽）如图1，在ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.（1）求线段BG的长；解：（2）求证：DG平分EDF;证：（3）连接CG，如图2，若BDG与DFG相似，求证：BGCG.证：12.解（1）D、C、F分别是ABC三边中点DEAB,DFAC，又BDG与四边形ACDG周长相等即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=ABAGBG=（2）证明：BG=，FG=BGBF=FG=DF,FDG=FGD又DEABEDG=FGDFDG=EDGDG平分EDF（3）在DFG中，FDG=FGD, DFG是等腰三角形,BDG与DFG相似,BDG是等腰三角形,B=BGD,BD=DG,则CD= BD=DG,B、CG、三点共圆,BGC=90,BGCG13.（2012安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。第13题图13.解析：（1）根据函数图象上面的点的坐标应该满足函数解析式，把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h中即可求函数解析式；（2）根据函数解析式确定函数图象上点的坐标，并解决时间问题；（3）先把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h中求出；然后分别表示出x=9,x=18时，y的值应满足的条件，解得即可.解：（1）把x=0,y=2,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h即2=a(06)2+2.6， y= (x-6)2+2.6（2）当h=2.6时，y= (x-6)2+2.6x=9时，y= (96)2+2.6=2.452.43球能越过网x=18时，y= (186)2+2.6=0.20球会过界（3）x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得；x=9时，y= (96)2+h2.43 x=18时，y= (186)2+h0 由 得h14（2013安徽）我们把由不平行于底的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”如图1，四边形ABCD即为“准等腰梯形”其中B=C（1）在图1所示的“准等腰梯形”ABCD中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形（画出一种示意图即可）；（2）如图2，在“准等腰梯形”ABCD中B=CE为边BC上一点，若ABDE，AEDC，求证：=；（3）在由不平行于BC的直线AD截PBC所得的四边形ABCD中，BAD与ADC的平分线交于点E若EB=EC，请问当点E在四边形ABCD内部时（即图3所示情形），四边形ABCD是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E不在四边形ABCD内部时，情况又将如何？写出你的结论（不必说明理由）解答：解：（1）如图1，过点D作DEBC交PB于点E，则四边形ABCD分割成一个等腰梯形BCDE和一个三角形ADE；（2）ABDE，B=DEC，AEDC，AEB=C，B=C，B=AEB，AB=AE在ABE和DEC中，ABEDEC，；（3）作EFAB于F，EGAD于G，EHCD于H，BFE=CHE=90AE平分BAD，DE平分ADC，EF=EG=EH，在RtEFB和RtEHC中，RtEFBRtEHC（HL），3=4BE=CE，1=21+3=2+4即ABC=DCB，ABCD为AD截某三角形所得，且AD不平行BC，ABCD是“准等腰梯形”当点E不在四边形ABCD的内部时，有两种情况：如图4，当点E在BC边上时，同理可以证明EFBEHC，B=C，ABCD是“准等腰梯形”如图5，当点E在四边形ABCD的外部时，同理可以证明EFBEHC，EBF=ECHBE=CE，3=4，EBF3=ECH4，即1=2，四边形ABCD是“准等腰梯形”15. (2014年安徽省)如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N（1）MPN=60；求证：PM+PN=3a；（2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON；（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由分析：（1）运用MPN=180BPMNPC求解，作AGMP交MP于点G，BHMP于点