§13.2 推理的几种基本方法.doc

13.2 推理的几种基本方法 预备知识不等式基本性质及不等式的解法素数、奇数、偶数等概念数列的有关知识立体几何中有关体的概念函数的奇偶性与函数图象的对称性重 点合情推理与演绎推理的一般方法归纳推理与类比推理在数学发现中的应用演绎推理的一般形式及其应用数学归纳法的原理与应用难 点归纳推理与类比推理在数学发现中的应用演绎推理的一般形式及其应用数学归纳法的原理与应用学习要求：通过学习教材中列举的例子体会归纳推理与类比推理在数学发现中的应用，并能对一些数学问题作出合情推理，提出一些合情的猜想理解演绎推理的一般形式及其应用方法，会运用演绎推理解决一些简单的数学问题理解数学归纳法的原理，会运用数学归纳法证明一些简单的关于自然数n的数学命题了解数学归纳法的局限性“若p则q”形式出现的数学命题的建立，命题是否为真的判定，都需要一个逻辑推理过程根据命题不同，证明的方法也各不相同这种推理、证明方法，也就是所谓逻辑思维在学习和掌握数学命题本身的同时，了解和学习逻辑推理过程、证明方法，有助于我们建立正确的推理方法，提高我们的逻辑思维能力 在本节，我们将对逻辑推理过程和证明的方法作一个概括性的介绍和小结，使你在今后的学习中能提高主动性，减少盲目性最后，我们还将学习一种新的推理证明方法数学归纳法 1. 几种主要的逻辑推理导出和判定命题真假，离不开推理过程推理必须符合逻辑，即应该是逻辑推理对不同的命题，尽管推理过程千变万化，但并非无章可循，我们仍然可以从中总结出一些基本规律和原则简单地说，推理可以分为合情推理与演绎推理两大类合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果以及个人的经验和直觉等，推测某些结果的推理过程看下面这个例子：6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7；我们可以发现如下规律：各等式的左边是大于4的偶数，右边各加数为奇素数由此可以合乎情理地推测，大于4的偶数都可以表示为两个奇素数之和这就是著名的哥德巴赫猜想它是从有限个特例通过不完全归纳提出的猜想这就是合情推理的一种，叫做归纳推理众所周知，到目前为止这个浅显易懂的猜想尚未得以证明换言之，尽管我们目前还举不出反例，但它仍然只是个猜想，未必正确演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程合情推理与演绎推理之间联系紧密、相辅相成下面对合情推理与演绎推理的一般形式及其特点加以分析(1)归纳推理归纳推理(简称归纳)是从具体事实中概括出一般结论的一种推理模式如果仅能对部分事实验证结论，则叫做不完全归纳法；如果能穷尽全部事实验证结论，则叫做完全归纳法不要被“不完全归纳法”、“完全归纳法”之类的名称吓倒，其实这种归纳法你经常在应用例如，给出数列前几项 an=2,4,6,8,，bn=,，要求写出数列的通项，你立即会写出an=2n，bn=(n=1,2,3,)这就是归纳推理当然在没有对所有正自然数n验证之前，只是不完全归纳；一旦根据其它条件得到了验证，就成为完全归纳了不完全归纳法是一种合情推理，得出的结论未必是正确的17世纪著名数学家费马曾通过不完全归纳得出猜想“(nN)是一个素数”在n=0,1,2,3,4时这个猜想都是正确的，但随着n的增加，an增长太快了，而要确定一个很大的数是否为素数又非常困难，所以这个猜想长期处于既不能证明其为真，但又不能举出反例证明其为假的两难境地直至18世纪，另一位大数学家欧拉才证明了当n=5时它是错的同样，哥德巴赫猜想也是通过不完全归纳法得出的结论，它的正误尚无定论，因此仅仅叫做猜想然而有些不完全归纳法导出的结论，也被人们所认可例如在初中，我们通过度量各种三角形的内角大小，得出“三角形内角和为180”的结论，因为我们并未能(实际上也不可能)对全部三角形作验证，因此它也是一种由不完全归纳法得出的结论完全归纳法必须穷尽被考察对象的一切特例后才能作出结论，因而结论是确凿可靠的但是要无一遗漏地考察所有特例往往是困难的，只有在某些特定的情况，才有作出完全归纳的可能课内练习11. 作出直线，并从图象上观察这条直线是否经过整点(注：整点是指在直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点)2. 请你猜想：直线是否永远不会经过整点3. 你能写出一个“直线y=kx+b永远不经过整点”的充分条件吗？4. 你能证明你对第2题的猜想吗？5. 下表列出了一些多面体的顶点数、棱数和面数，请你先将表格填写完整，然后猜想任意多面体的顶点数、棱数和面数之间有没有关系多面体名称顶点数棱数面数四面体464正方体8多面体名称顶点数棱数面数三棱柱6五棱台156. 判断分段函数的奇偶性7. 回忆指数函数的单调性是怎样得出的是完全归纳还是不完全归纳？能再举出一些归纳法推理的例子吗？8. 请归纳一下“已知三角形的两边和其中一边的对角，解此三角形”的所有情形(2)类比推理类比你一定经常应用，例如，“学习如逆水行舟不进则退”、“光阴似箭，一去不复回”之类的比方，就是以逆水行舟来类比学习，推出不进则退的结论；以箭来类比光阴，推理出一去不复回的结论这些结论激励你珍惜时间，不断求进数学上也有一种叫做类比推理的方法它是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可能存在相同或相似之处的一种推理模式例如，下表对正方形和正方体作了类比正方形(边长为a)正方体(棱长为a)四边相等，邻边垂直六面相同，邻面垂直面积体积周长4a表面积对角线长体对角线周长一定的矩形中，正方形面积最大表面积一定的长方体中，正方体体积最大有内切圆(半径为)有内切球(半径为)正方形内切圆的内接正方形面积为原正方形面积的正方体内切球的内接正方体表面积为原正方体表面积的正方形的对称轴有4条？请你在类比中推测正方体有几条对称轴(注意：绕轴旋转180后应该与原正方体重合)类比推理也仅是一种合情推理，与归纳推理一样，主要用类比的方法，从已知规律探索和发现未知的规律，所得结论也往往是一种猜想，并不可信，还需检验和证明上表中右列结论有的不难验证，有的你可能要学过立体几何 ( II ) 后，才能很好地证明你猜想正方体有4 3 = 12条对称轴或3 2 = 9条对称轴都是合情的，但如果进一步从正方形的对称轴特点去类比推理可能更易得出正确的答案在科学技术领域，广泛应用类比推理的方法，从已知去发现未知比如利用某些与人类有共同之处的动物作药品初期试验，用风洞试验飞机的各种性能等等课内练习21. 如图13-2，类比直角三角形ABC和直角顶点四面体A-BCD (AB,AC,AD两两垂直)，设四面体的顶点A,B,C,D所对的面的面积依次为O,P,Q,R，由勾股定理类比推测O、P、Q、R之间的关系，并证明你的结论ABCABCD图13-2(1)(2)2. 根据牛顿的万有引力定律，质量分别为m1,m2，距离为r的两个物体之间的引力大小为，其中G为引力常数有人将它与两个城市间的电话通话数量作类比推理，猜想电话的通话量相当于万有引力F，两个城市的人口相当于m1、m2，两个城市间的距离相当于r，这些量之间也可能有类似的公式研究者对各个城市间的通话数量作了大量的统计分析，发现的确存在类似的数量关系请你也由万有引力定律作一些类比推理，推测一些可能的关系3. 欧姆定律是指电路中的电流I与电压U成正比，并由欧姆定义了比值为电路的电阻值，单位即为欧姆请你由此猜测：假设两个不同温度的物体之间，距离和其它因素固定不变，它们之间的热量传递速度与温差之间可能存在什么关系？请查阅热学方面的书籍或上网搜索关键词“热传导定律”，证实你的猜想(3)演绎推理归纳、类比两种合情推理，一般具有发现性和创新性，但带有臆测、猜想倾向演绎推理则是由一般性的命题严格地推出特殊性命题的一种推理模式，它主要用于证明给定的结论演绎推理的名称尽管初次出现，但它早已为我们所应用例如，证明对顶角相等，就是由“平角等于180”这个命题，经过演绎推理得到的：ACBDO1324图13-3平角等于180如图13-3所示，因为AOB为平角，所以AOB=180又因为1+2=AOB，所以1+2=180同理，1+4=180所以2=4同理，1=3演绎推理过程一般分为大前提、小前提、推出结论三段，一般叫做三段论式三段论可以表示为一个一般原理(大前提)：MP(M是P)；一个特殊情况(小前提)：SM(S是M)；结论：SP (S是P) 大前提与小前提是一般原理和特殊情况的内在联系体如上例所示，“平角(M)是180(P)”是一个一般性原理；“AOB(S)是平角(M)”是本题的特殊情况，从而产生结论“AOB(S)是180(S是P)”接下来的各步推理其实也都含有这三段，但因为平时在显见的情况下，常常略去了大前提演绎推理是数学中的最重要推理形式，平时很多数学题(包括计算题)都是用这种推理形式来解算或论证的例1 已知 f (x+3)=2x2-1，求f(0),f(x)解 对任意实数x， f(x+3)=2x2-1(大前提)，取(小前提)，则f(-3+3)=f(0)=17(结论)对任意实数x，f(x+3)=2x2-1(大前提)，令x+3=t，即取x=t-3(小前提)，则f(t)=2(t-3)2-1=2t2-12t+17(结论)对任意实数t， f(t)=2t2-12t+17(大前提)，取t=x(小前提)，则f(x)=2x2-12x+17(结论)当然，你在解题时不必每一步都写出大前提、小前提、结论，完全可以按照我们已经习惯了的书写格式来表达推理过程，象本例中的大前提也不必表述得如此完整，共用的大前提一般只要写一次即可，一些显见的推断过程可以省略但如果你在解算、论证时遇到了阻力，不妨按此方式整理一下思路，也许能帮你解脱困境这是因为演绎推理还能把特殊情况明晰化，使之能与某些一般性命题相联系例2 求证：函数f(x)=x4+2x2-1的图象关于y轴对称证明 f(x)的定义域为R当xR时，f(-x)=(-x)4+2(-x)2+1= x4+2x2-1=f(x)，所以f(x)为偶函数又因为偶函数图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于y轴对称在上面的证明过程中，先证得f(x)为偶函数的结论，使“f(x)的图象关于y轴对称”这个特殊问题与“偶函数图象关于y轴对称”这个一般性命题建立了联系演绎推理的另一个功能，是可以揭示出并不显见的性质或规律，在一定程度上也可以认为是新知识的发现例如，将一元二次函数y=ax2+bx+c配方，得，这时便很容易看出二次函数蕴含的性质：当x=时，y将达到最小值(a0)或最大值(a2时，不存在正整数x,y,z,n，使xn+yn=zn”这就是困扰数学界358年的费马大定理围绕对这个问题研究，产生了许多新的数学分支和结论，这个猜想最终于1994年获证，真正成为了一个定理2. 四色问题“四色问题”是依据不完全归纳法提出的一个著名猜想所谓“四色问题”是这样的：对任意一幅无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就足以使相邻地区的颜色不同提出至今，除了利用高速计算机穷举所有可能的情形作完全归纳法证明外，没有更好的证明方法，因而对这个图论问题可能蕴含的“天机”尚未揭密但在数学界首次承认了计算机穷举也是一种证明，除此之外，它会不会也是能生下一批“金蛋”的鸡呢？3. 哥尼斯堡七桥问题“哥尼斯堡七桥问题” 是使用完全归纳法证明一个猜想的著名例子图1是风光秀美的哥尼斯堡的地图，城堡的A、B、C、D各个区域被河道隔开，并以七座桥联通导游提出：能不重复地一次性走过这七座桥吗？岛B北A南C东D图1ABCD图2图3(1)(2)(3)你可以“纸上谈兵”，来完成完全归纳，然而要穷尽所有情形是非常困难的著名数学家欧拉另辟蹊径，他首先把A、B、C、D四个区域看作四个点；把能通达各区域的七座桥看作联结这些点的线，这样上述问题即抽象为“能否无重复地一笔画出图2所示图形”？接着他通过分析，发现一笔画问题归结起来有两种情形：始点和终点不同(如图3 (1),(2)；始点和终点相同(如图3 (3)对于情形，除了始点和终点外，其余均为途经点途经点有一个特征：有“进”线必有“出”线，也就是联结途经点的线数成双我们把联结有偶(奇)数条线的点称为偶(奇)点，显然途经点必为偶点，而