教学内容切线长定理.doc

教学内容：切线长定理【学习目标】理解切线长的概念，掌握切线长定理并会运用它解决有关问题【主体知识归纳】1在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长2从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角3圆的外切四边形的两组对边和相等【基础知识讲解】1“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量特征，要明确这条线段的端点是哪两个点，而“切线”是一条直线，它不可度量长度2理解切线的有关问题，应明确：(1)已知一条切线时，常有五个性质可用若已知某一圆的两条切线平行，则连结圆上两个切点的线段为直径；若已知两条切线相交，那么又增加了切线长相等的性质(2)如图7155，PA、PB切O于点A、B，则PAPB，PO平分APB，可得点A、B关于直线OP对称，从而有OP垂直平分弦AB、平分、以及OACAPCOPA等结论因此，切线长定理是证明线段相等、角相等、弧相等、线段成比例、垂直关系的重要依据3要注意比较圆内接四边形与圆外切四边形的特性【例题精讲】例1：如图7156，AB是O的直径，AC、BF都是O的切线，CF切O于D，DEAB，分别交AB、BC于E、G求证：DGGE剖析：因CADEBF，故考虑借助于比例式来证线段相等由于CA、CF、FB是切线，可得CACD，DFBF，这样，就为证DGEG提供了条件说明：借助于比例式来证明线段相等，是常用方法本例灵活运用了平行线分线段成比例、切线长定理思考：本例有结论，半径是AC、BF的比例中项，请证明，并利用它写出例1的另外解法例2：如图7157，PA、PB、CD都是O的切线，P60，设PCD的周长为C1，O的周长为C2，则C2和2C1的大小关系是AC22C1BC22C1CC22C1DC1与半径有关剖析：PCD的周长也就是PAPB的和，只要计算PA的长就可以了，C2仅与半径的大小有关解：连结OA、PO设O的半径为 C1PCCDDP又CCA，DDBC1PCCDPDPAPB2PAAPB60，APO30PA是O的切线，OAPA，即OAP90在RtPOA中，cotAPOPAAOcotAPO C12 C22 即 C22C1故应选 C例3：已知O内切于ABC，DEBC，DE切O于点P，ABC的周长为20 cm，如图7158所示，设DEy cm，BCx cm，试写出y与x之间的函数关系式，并求当BC为多长时，DE取最大值，最大值是多少?解：BCx，BQB，CQCN BCNBCxADE的周长为CADEADDPPEAEADDENAEAANCABC(BCNBC)202x又DEBC，即y当BCx5 cm，DEy取最大值，最大值为例4：如图7159，AD是O的直径，直线l与O交于E、F两点，过点A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，CD交O于G(1)证明：ADBEFGDF；(2)设ABm,BCn,CDp,试证明tanFAD、tanBAF是方程mx2nxp0的两个实数根；(3)若(2)中的方程满足n24mp,判断直线l与O的位置关系(1)证明：过点O作OMl,垂足为M由垂径定理，得EMFMABl,CDl,ABCDOM又AD是O的直径，ODOA，CMBM，BECFAFD90,AFDGCF90四边形AFGD是圆内接四边形，CGFFADCFGFDA,即ADCFFGDFADBEFGDF(2)证明：连结AG，则四边形ABCG是矩形，ABCGtanFADtanFGC,tanBAF,tanFADtanBAF,四边形ABCG是矩形，AGBC，FDGAFERtDCFRtFBACFFBABCD又ABm,BCn,CDp,tanFADtanBAF,tanFADtanBAFtanFAD、tanBAF是方程mx2nxp0的两个实数根(3)解：若(2)中的方程满足n24mp,即0tanFADtanBAF即CFFBCE点E、F重合说明直线l和O有一个公共点直线l与O相切说明：本例是一道综合性很强的题目，而且一题多问，一环扣一环，请同学们在解题时一定要理清思路【同步达纲练习】1(1)若O的切线长和半径相等，则两条切线所夹角的度数为A30B45C60D90(2)O为等腰梯形ABCD的内切圆，梯形ABCD的周长为40 cm，则此梯形的中位线的长为A40 cmB20 cmC10 cmD5 cm(1)如图7160，若AB、AC分别切O于B、C，延长OB到D，使BDOB，连AD，DAC78，则ADO等于A56B39C64D78(4)如图7161，AB、AC切O于B、C，AO交O于D，过D作O切线分别交AB、AC于E、F，若OB6，AO10，则AEF的周长是A10B12C14D16(5)在O的外切梯形ABCD中，若ADBC，那么DOC的度数为A70B90C60D45(6)已知O的半径为3，点P和圆心O的距离为6，过点P作O的两条切线，则切线的长为A3B3C3D(7)在ABC中，AC3，BC4，AB5，则ABC的内切圆半径为A1 B1.5C2D(8)如图7162，PA、PB是O的两条切线，弦AB长为8 cm,其弦心距为3 cm,那么切线PA的长为A5 cmB8 cmCcmDcm(9)如图7163，在RtABC中，C90,BCa,ACb,以AB上一点O为圆心的O，与BC切于点D，与AC切于点E那么O的半径等于ABCD2填空题(1)圆的外切等腰梯形的两底长分别是2cm和8 cm，那么该圆的半径是_；(2)圆的外切平行四边形是_；(3)作一个半径为2 cm的圆，使它与已知60角的两边都相切，则圆心到角的顶点的距离是_；(4)RtABC的内切圆与斜边AB相切于D，且AD5，BD3，则SABC_；(5)O的半径为2，弦AB2，过A、B两点的O的切线相交于点P，PO与圆相交于C，则C到PA的距离是_；(6)PA、PC分别切O于A、C两点，B为O上与A、C不重合的点，若P50，则ABC_(7)如图7164，已知PA、PB分别切O于A、B两点，ACPB于C，且与O相交于点D若DBC20,则APB_度(8)如图7165，四边形ABCD是直角梯形，ADBC，ABBC以AB为直径的O与腰CD相切，切点为E，设此圆的半径为6 cm,sinC,则上底AD的长为_3如图7166，AB是半圆的直径，AD、BC、CD是O的切线，切点分别为A、B、E，DO交AE于F，OC交BE于G，求证：(1)CODO；(2)四边形EFOG是矩形；(3)FG2ADBC4如图7167，PA、PB是O的切线，A、B为切点，PQOQ于Q，OQ交AB于M求证：OA2OOQ5如图7168，在RtABC中，ACB90，在BC边上取一点E，使CE6，以CE为直径作半圆O，切AB于点D，问当BE等于多少时，AC66如图7169，在直角梯形ABCD中，ADBC，B90，AB8厘米，AD24厘米，BC26厘米，AB是O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1厘米秒的速度运动动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米秒的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，求：(1)t为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形?(2)t为何值时，直线PQ与O相切、相交、相离?参考答案【同步达纲练习】1(1)D (2)C (3)C (4)D (5)B (6)B (7)A (8)C (9)D2(1)2cm (2)菱形 (3)4cm (4)15 (5)1 (6)65或115 (7)40 (8)3cm3连结OE(1)证ODEOCD(ADCBCD)90(2)证AEGEGOCOD90(3)证ODECOE,得OE2D