向量的线性运算.doc

向量的线性运算知识点：1向量的有关概念名称定义备注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)如a，零向量长度等于零的向量；其方向不确定记作0单位向量给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0.a0共线(平行)向量如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行向量a与b平行记作ab相等向量同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量记作a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3. 平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab.课堂练习：2 (2012四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解析表示案C与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选项易知C满足题意3 已知O是ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且20，那么()A. B.2C.3 D2解析由20可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故.4 已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_解析如图所示，由，且0，则P是以AB、AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此2，则2.5 设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_解析2ab，又A、B、D三点共线，存在实数，使.即，p1.典型例题：平面向量的概念辨析例1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是_解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且，又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.故“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件正确ab，a，b的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.思维升华(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈(4)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量平面向量的线性运算例2(1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么等于 ()A.B.C.D.(2)在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cbC.bc D.bc思维启迪结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键解析(1)在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.(2)2，22()，32，bc.思维升华(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果共线向量定理及应用例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线思维启迪解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，否则向量a、b不共线方程思想在平面向量的线性运算中的应用例4：(12分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.思维启迪(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线存在实数t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1. 7分又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线 10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.12分温馨提醒(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线如且AB与CD不共线，则ABCD；若，则A、B、C三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性 课后训练一、选择题1 下列命题中正确的是 ()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行答案C解析由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C.2 已知a2b，5a6b，7a2b，则下列一定共线的三点是()AA、B、C BA、B、DCB、C、D DA、C、D答案B解析2a4b2A、B、D三点共线3 已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m等于 ()A2 B3 C4 D5答案B解析由已知条件得.如图，因此延长AM交BC于D点，则D为BC的中点延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E、F分别为AC、AB的中点，即M为ABC的重心()，即3，则m3.4 已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B60 C90 D120答案B解析由0，知点O为ABC的重心，又O为ABC外接圆的圆心，ABC为等边三角形，A60.5 在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，则等于 ()A1 B. C. D.答案D解析，2，即.故.二、填空题6 设向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：A，B，C共线；A，B，D共线；B，C，D共线；A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为_答案解析4e12e2，3e1，由向量共线的充要条件ba(a0)可得A，C，D共线，而其他无解7 在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.8 在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.答案解析由图知，且20.2得：32，.三、解答题9 已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共线，向量c2e19e2.问是否存在这样的实数、，使向量dab与c共线？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应有实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在