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数论（2）-同余1. 设m是一个给定的正整数，如果两个整数a与b用m除所得的余数相同，则称a与b对模同余，记作，否则，就说a与b对模m不同余，记作，显然，；每一个整数a恰与1，2，m，这m个数中的某一个同余；2 同余的性质：1) 反身性：；2) 对称性：；3) 传递性：若，则;4) 若，则 特别是；5) 若，则； 特别是 ；6) ；7）* 设是系数全为整数的多项式，若，则8) 若； 9) 若， ，且3. 完全剩余类在取定某数为模后，按照同余关系把彼此同余的整数归为一类，这些数称为模的剩余类。一个类的任何一个数，都称为该类所有数的剩余。显然，同类的余数相同，不同类的余数不同。这样，我们就把全体整数按照模划分为个剩余类：，上述个剩余类中，每一类任取一个剩余，得到的个数称为模的一个完全剩余系。定理1：如果=1，是模的一个完全系，则， 也是模的一个完全系定理2（费马小定理）：若为素数，且，则推论：设是素数，则【例1】 试求被50除所得的余数。【例2】 设，问某星期一后的第天是星期几？【例3】 证明：完全平方数模4同余于0或1；【例4】 证明对于任何整数,能被7整除；【例5】 试证对于任何整数，数不是三个整数的平方和。【例6】 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除的数组共有多少组。 【例7】 设是整系数多项式，证明：若【例8】 试求出一切可使被3整除的自然数；【例9】 连续写出19到80的两位数，判断所得数能否被1980整除？【练习】1、证明：完全平方数模3同余于0或1； 证明：完全平方数模5同余于0、1或4； 证明：完全平方数模8同余于0、1或4； 证明：完全立方数模9同余于-1、0或1；证明：整数的四次幂模16同余于0或1；2. 求被37除之余数。3. 的十进位数的数
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