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浙江教育出版社 九年级（上册） 畅言教育3.3垂径定理 教材分析本节是圆这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。 教学目标【知识与能力目标】1.通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.【过程与方法目标】在研究过程中，进一步体验“实验归纳猜想证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决.【情感态度价值观目标】通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱. 教学重难点【教学重点】使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论.【教学难点】对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理. 课前准备教师准备：圆规，三角尺，PPT课件，多媒体学生准备：圆规，三角尺，练习本 教学过程一、温故知新1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？ 2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 二、新课思考：活动：探究圆的轴对称性.如图（1），若将O沿直径AB对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片亲自实验，教师引导学生努力发现：1.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴.2.如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？3、引入新知：如图（2），左图中AB是O的弦，直径CD与弦AB相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB是O的弦，直径CDAB,垂足为E.此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容（2）.猜想，证明，形成垂径定理1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？2、猜想：可能出现的位置关系是：线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合.可能出现的数量关系是：3、证明：利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等.板书：4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.（二）分析垂径定理的条件和结论1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象.2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解.练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段.（三）例题例1 已知：如图（3），在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求：O的半径.变式（1）：如图（3），在O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，O的半径为5cm.求：弦AB的长为多少？4、O的半径为10cm，弦ABCD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是_ 总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决.例:1：在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，油面宽AB=600mm，求油的最大深度.练习：1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证:AC=BD.3、已知：O中弦ABCD.求证： 解决问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m， 拱高(弧的