十二 弯曲变形.ppt

第十二章弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大 就会影响零件的加工精度 甚至会出现废品 在工程实践中 对某些受弯构件 除要求具有足够的强度外 还要求变形不能过大 即要求构件有足够的刚度 以保证结构或机器正常工作 12 1概述 一 工程中的弯曲实例 桥式起重机的横梁变形过大 则会使小车行走困难 出现爬坡现象 但在另外一些情况下 有时却要求构件具有较大的弹性变形 以满足特定的工作需要 例如 车辆上的叠板弹簧 要求有足够大的变形 以缓解车辆受到的冲击和振动作用 二 计算弯曲变形的目的 1 研究刚度 2 解静不定问题 3 确定梁弯曲的动载系数 控制变形 齿轮轴 镗刀杆 使用变形 叠板弹簧 跳水板 三 弯曲变形的基本概念 1 挠曲线 梁在平面弯曲时 其轴线在载荷作用平面 纵向对称面 内 变成了一条曲线 该曲线称为挠曲线 表示 连续光滑 特点 w f x 它是坐标x的连续函数 2 挠度和转角 规定 向上的挠度为正逆时针的转角为正 挠曲线方程 转角方程 是度量弯曲变形的两个基本量 四 画绕曲线近似形状的方法 1 考虑支座的约束特点 固定端 w 0 0 铰支座 wA 0 wB 0 2 考虑弯矩的变化 弯矩为正 凹 弯矩为负 凸 弯矩为O的线段 直线 弯矩为O的点 拐点 例 12 2挠曲线近似微分方程及其积分 一 挠曲线近似微分方程的导出 力学公式 数学公式 平面曲线 挠曲线 上任意点的曲率公式 纯弯曲梁变形后中性层的曲率公式 对于横力弯曲 l 5h 可近似使用 对于小挠度情形有 挠曲线的近似微分方程 二 积分法求弯曲变形 对于等截面直梁 有 说明 1 若M x 方程或EI有变化 则应分段 2 C D为积分常数 由边界条件和连续性条件确定 固定端 w 0 0 确定积分常数 1 边界条件 2 连续性条件 梁的挠曲线是一条连续而光滑的曲线 因此在挠曲线的任一点处 如 弯矩方程的分界处 截面的突变处 左右两截面的转角和挠度均相等 A 铰支座 wA 0 wB 0 例 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和wmax 由边界条件 得 梁的转角方程和挠曲线方程为 最大转角和最大挠度分别为 解 例 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和wmax 解 由边界条件 梁的转角方程和挠曲线方程为 最大转角和最大挠度分别为 例 试求图示简支梁的弯曲变形 抗弯刚度 EIz 解 1 求支反力 写出弯矩方程 AC段 CB段 2 列出挠曲线微分方程 并积分 AC段 CB段 3 列出边界条件 4 连续性条件 由连续性条件 可求得 由边界条件 可求得 5 求最大转角和最大挠度 对简支梁受集中力 最大转角一般在两端截面上 比较两者 当a b时 挠度最大值发生在 截面上 当a b时 发生在AC段 将积分常数代入 得到转角方程和挠曲线方程 略 讨论 1 2 当须分段表示弯矩方程时 需用连续性条件 边界条件一起确定积分常数 3 截面 最大挠度很接近于梁中点挠度值 故工程上常用中点的挠度代替最大挠度 4 当b l 2时 5 积分法适用于求任意截面的挠度和转角 例 已知梁的抗弯刚度为EI 试求图示简支梁的转角方程 挠曲线方程 并确定 max和wmax 解 由对称性 只考虑半跨梁ACD 由连续性条件 由边界条件 由对称条件 梁的转角方程和挠曲线方程分别为 最大转角和最大挠度分别为 例 用积分法求图示各梁的挠曲线方程 应分为几段 将出现几个积分常数 并写出各梁的边界条件和连续条件 边界条件 连续条件 边界条件 连续条件 边界条件 连续条件 边界条件 1 挠度和转角 规定 向上的挠度为正逆时针的转角为正 挠曲线方程 转角方程 挠度和转角是度量弯曲变形的两个基本量 内容回顾 挠曲线的近似微分方程 2 挠曲线近似微分方程 3 积分法求弯曲变形 对于等截面直梁 有 截面的转角方程 梁的挠曲线方程 说明 1 若M x 方程或EI有变化 则应分段 2 C D为积分常数 由边界条件和连续性条件确定 挠曲线的近似微分方程 12 3叠加法求弯曲变形 一 叠加法前提 材料服从胡克定律 小变形 二 第一类叠加法 载荷叠加法 当梁上同时作用有几种载荷时 可分别求出每一种载荷单独作用下的变形 然后将各个载荷单独引起的变形叠加 得这些载荷共同作用时的变形 已知 q l EI 求 wC B 用叠加法求 例 解 若图示梁B端的转角 B 0 则力偶矩 等于多少 例 解 例 求图示梁B D两点的挠度wB wD 解 例 用叠加法确定图示梁C截面的挠度wC和转角 C 解 所以 例 用叠加法求图示梁中点C的挠度wC 例 求梁中点C的挠度wC 解 三 第二类叠加法 逐段分析求和法 为求梁某截面的挠度和转角 常把构件分成几段分别刚化处理 进而计算出每段变形在该截面处引起的挠度和转角 然后将它们分别叠加 得到该截面处总的挠度和转角 这种计算变形的方法称为逐段分析求和法 又称位移叠加法 注 此种叠加方法在求外伸梁 或受力比较特殊的悬臂梁的变形时 比较方便 例 求外伸梁ABC的外伸端A的挠度 解 用逐段分析求和法 2 将BC段刚化 1 将AB段刚化 3 最后结果 例 求外伸梁ABC的外伸端A的挠度和转角 解 1 将BC段刚化 2 将AB段刚化 3 最后结果 例 求悬臂梁ACB的自由端B的挠度和转角 解 1 将AC段刚化 2 将BC段刚化 两根材料相同 抗弯刚度相同的悬臂梁 如图示 梁的最大挠度是 梁的多少倍 例 16倍 例 简支梁在整个梁上受均布载荷q作用 若其跨度增加一倍 则其最大挠度增加多少倍 16倍 12 4梁的刚度校核 刚度条件 是构件的许可挠度和转角 它们决定于构件正常工作时的要求 一 梁的刚度条件 二 三类刚度问题 1 刚度校核 2 截面设计 3 确定许可载荷 例 图示工字钢梁 l 8m Iz 2370cm4 Wz 237cm3 w l 500 E 200GPa 100MPa 试根据梁的刚度条件 确定梁的许可载荷 P 并校核强度 解 由刚度条件 例 矩形截面的纯弯曲梁如图所示 已知梁中性层上无应力 若将梁沿中性层锯开 将锯开后的两梁叠合在一起并承受相同的弯矩 问锯开前后 即一根的梁和两根叠合在一起的梁 两者的最大弯曲应力和抗弯刚度的比值分别为多少 解 锯开前 最大应力 抗弯刚度 锯开后 两根的梁独立作用 每梁承受 故叠合梁的 最大应力 抗弯刚度 两种情况下 最大应力和抗弯刚度的比值为 解除多余约束 代之相应的反力 变静不定梁为形式上的静定梁系统 一 静不定梁的概念 不能由静力平衡方程求出全部未知量的梁 静不定梁或超静定梁 二 相当系统的建立 方法步骤 该梁称为原静不定梁的相当系统 求出解除约束处的变形 并与实际变形比较 得补充方程 三 用变形比较法解静不定梁 12 5简单超静定梁 求图示静不定梁的支反力 例 解 将支座B看成多余约束 变形协调条件为 另解 将支座A对截面转动的约束看成多余约束 变形协调条件为 12 6提高梁弯曲刚度的措施 影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关 而且还与梁的材料