空间向量在立体几何中的应用——夹角的计算习题 详细答案.doc

学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 巩固练习巩固练习 一 选择题一 选择题 1 设平面内两个向量的坐标分别为 1 2 1 1 1 2 则下列向量中是平面的法向 量的是 A 1 2 5 B 1 1 1 C 1 1 1 D 1 1 1 2 如图 是正方体 则与所成角的余弦值是 1111 ABCDABC D 11 1111 4 AB B E D F 1 BE 1 DF A B 17 15 2 1 C D 17 8 2 3 3 如图 是直三棱柱 点分别是的中点 111 ABCABC90BCA 11 DF 1111 ABAC 若 则与所成角的余弦值是 1 BCCACC 1 BD 1 AF A B 10 30 2 1 C D 15 30 10 15 4 若向量与的夹角的余弦值为 则 12 a 21 2 b 8 9 A B C 或D 2 或22 2 2 55 2 55 5 在三棱锥中 点分别是的中点 PABC ABBC 1 2 AB BC PAOD ACPC 底面 则直线与平面所成角的正弦值 OPABCODPBC A B 6 21 3 38 C D 60 210 30 210 6 2015 秋 湛江校级期末 在正四棱锥 S ABCD 中 O 为顶点在底面内的投影 P 为侧 棱 SD 的中点 且 SO OD 则直线 BC 与平面 PAC 的夹角是 A 30 B 45 C 60 D 75 7 在三棱锥中 点分别是的中点 PABC ABBC 1 2 AB BCPAOD ACPC 底面 则直线与平面所成角的正弦值是 OPABCODPBC 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 A B C D 21 6 8 3 3 210 60 210 30 二 填空题二 填空题 8 若平面的一个法向量为 直线 的一个方向向量为 则 与所成 330 n l 111 b l 角的余弦值为 9 正方体中 分别为的中点 则异面直线与所 1111 ABCDABC D EF 1 ABCC EF 11 AC 成角的大小是 10 已知三棱锥SABC 中 底面ABC为边长等于 2 的等边三角形 SA垂直于底面 ABC SA 3 那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 11 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直 ABE是等 腰直角三角形 45ABAE FAFEAEF 则平面和平面的夹角余弦BDFABD 值是 三 解答题三 解答题 12 如图 点在正方体的对角线上 P 1111 ABCDABC D 1 D B60PDA 求与所成角的大小 DP 1 C C 求与平面所成角的大小 DP 11 A ADD 13 如图 四棱锥的底面是菱形 其对角线 FABCD ABCD 2AC 2BD AE 都与平面垂直 求平面与平面的夹角大小 CF ABCD 1AE 2CF ABFADF 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 14 如图 1 在 Rt 中 90 3 6 分别是 ABCCBCACDE AC 上的点 且 将 沿折起到 的位置 使ABDEBC2DE ADEDE 1 A DE 如图 2 1 A CCD 1 求证 平面 1 A CBCDE 2 若是的中点 求与平面所成角的大小 M 1 A DCM 1 A BE 3 线段上是否存在点 使平面与平面垂直 说明理由 BCP 1 A DP 1 A BE 15 2016 浙江理 如图 在三棱台 ABC DEF 中 平面 BCFE 平面 ABC ACB 90 BE EF FC 1 BC 2 AC 3 求证 EF 平面 ACFD 求二面角 B AD F 的平面角的余弦值 答案与解析答案与解析 1 答案 B 解析 排除法 平面的法向量与平面内任意直线的方向向量垂直 即它们的数量积为零 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 排除 A C D 选项为 B 2 答案 A 解析 设正方体的棱长为 1 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则DD xyz 11 31 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 44 BEDF 所以 1 31 1 1 1 1 0 0 1 44 BE 1 11 0 1 0 0 0 0 1 44 DF 1 17 4 BE 1 17 4 DF 11 1115 0 0 1 1 4416 BEDF 所以 11 11 11 cos 15 15 16 171717 44 BEDF BE DF BEDF 因此 1 BE与 1 DF所成的角的余弦值是 15 17 3 答案 A 解析 如图所示 以为原点建立的空间直角坐标系 C 则 111 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 ABCAB 由中点公式可知 11 1 11 101 2 22 DF 11 111 101 222 BDAF 11 1 1 30 4 cos 1035 24 BDAF A 4 答案 C 解析 由可得 即 cos a ba babA 2 5510840 25520 即或 2 2 55 5 答案 D 解析 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 22214214 0 0 0 0 0 00 0 0 222244 OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABa AaBaCaPDaa 平面 以为原点 射线为非负轴 建立空间直角坐标系如图 设 则 214 0 44 1 1 1 7 210 cos 30 210 sincos 30 210 30 ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n ODPBC 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为 则 与平面所成角的余弦值为 6 答案 A 解析 如图 以 O 为坐标原点 以 OA 为 x 轴 OB 为 y 轴 以 OS 为 z 轴 建立空间直 角坐标系 O xyz 设 OD SO OA OB OC a 则 A a 0 0 B 0 a 0 C a 0 0 0 2 2 a a P 则 2 0 0 0 2 2 a a CAaAPaCBa a 设平面 PAC 的一个法向量为 n 则 0 0n CAn AP 可取 20 220 ax ayaz 0 1 1 n 2 1 cos 2 22 CB na CB n CBn a 60CB n 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 直线 BC 与平面 PAC 的夹角为 90 60 30 故选 A 7 答案 D 解析 222 0 0 0 0 0 0 222 0 0 OPABCOAOCABBC OAOBOAOPOBOP OOPzOxyz ABaAaBaCa OPhPh 平面 以为原点 射线为非负轴 建立空间直角坐标系如图 设 则 设 则 2 7 2 214 0 44 1 1 1 7 210 cos 30 210 sincos 30 PAa ha ODaa PBCn OD n OD n ODn ODPBC OD n 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为 则 8 答案 3 3 解析 由 知 与所成角的余弦值为 22 3 3 0 1 1 6 cos 3 331 1 1 n bl 63 1 93 9 答案 30 解析 以 A 为原点建立直角坐标系 如图所示 设 B 2 0 0 则 E 1 0 0 F 2 2 1 C1 2 2 2 A1 0 0 2 1 2 1 EF 11 2 2 0 AC 11 11 11 1 2 1 2 2 0 3 cos 2 6 2 2 EF AC EF AC EFAC z y x P O D C B A 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 11 cos 30EF AC 10 答案 3 4 解析 本题考查了立体几何的线与面 面与面位置关系及直线与平面所成角 过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E 连结 SE 过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F 连 BF 正三角形 ABC E 为 BC 中点 BC AE SA BC BC 面 SAE BC AF AF SE AF 面 SBC ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角 由正三角形边长 3 3AE AS 3 SE 2 3 AF 3 2 3 sin 4 ABF 11 答案 3 11 11 解析 因为 ABE 为等腰直角三角形 AB AE 所以 AE AB 又因为平面 ABEF 平面 ABCD AE 平面 ABEF 平面 ABEF 平面 ABCD AB 所以 AE 平面 ABCD 所以 AE AD 因此 AD AB AE 两两垂直 以 A 为坐标原点 建立 如图所示的直角坐标 系 A xyz 设 AB 1 则 B 0 1 0 D 1 0 0 E 0 0 1 C 1 1 0 因为 FA FE AEF 45 所以 AFE 90 从而 1 1 0 2 2 F 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 所以 设平面 BDF 的一个法向量为 1 n 并设 1 n x y z 1 10BD 3 1 0 2 2 BF 由 得 0 0 n BD n BF A A 0 31 0 22 x y yz 取 y 1 则 x 1 z 3 从而 1 n113 由 AE 平面 ABCD 可知 平面 ABD 的一个法向量为 0 01AE 设平面和平面的夹角为 则BDFABD 1 0033 11 coscos 1111 n AE 12 解析 如图 以点为原点建立空间直角坐标系 设为单位长 则DDxyz DA 连结 在平面 BB1D1D 内 延长 DP 交于点 H BD 11 B D 11 B D 设 m 0 由条件知 60 由 cos 可得 2m 解得 m 所以 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 因为 cos 所以 即与所成的角的大小是 45 DP 1 CC 因为平面的一个法向量是 又 cos 所以 即与平面所成角的大小为 60 DP 11 A ADD 注意 由于点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的对角线 D1B 上且 PDA 60 直接设点 P 的坐标则会出现多个变量 因为所求的两问都是求与 DP 相关的角度问题 因此根据点 P 的位置特征只确定 DP 所在的直线的位置即可 因此出现上面解法 显然尽管求解过程是 用向量的坐标方法 但空间想象与思辨论证的要求并没有降低 体现了对学生全面的几何 方法的考查 13 解析 如图 以为坐标原点 建立如图的空间直角坐标系 设平面的法向量为 ABF 则由得 令 得 同理 可求得平面的法向量 ADF 因为 所以平面与平面垂直 ABFADF 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 所以平面与平面的夹角 ABFADF 2 14 解析 15 解析 延长 AD BE CF 相交于一点 K 如图所示 学习资料收集于网络 仅供参考 学习资料 因为平面 BCFE 平面 ABC 且 AC BC 所以 BF AC 又因为 EF BC BE EF FC 1 BC 2 所以 BCK 为等边三角形 且 F 为 CK 的中点 则 BF CK 所以 BF 平面 ACFD 方法一 过点 F 作 FQ AK 连结 BQ 因为 BF 平面 ACK 所以 BF AK 则 AK 平面 BQF 所以 BQ AK 所以 BQF 是二面角 B AD F 的平面角 在 Rt ACK 中 AC 3 CK 2 得 3 13 13 FQ 在 Rt BQF 中 得 3 13 3 13 FQBF 3 cos 4 BQF 所以 二面角 B AD F 的平面角的余弦值为 3 4 方法二 如图 延长 AD BE CF 相交于一点 K 则 BCK 为等边三角形 取 BC 的中点 O 则 KO BC 又平面 BCFE 平面 ABC 所以 KO 平面 ABC 以点 O 为原点 分别以射线 OB OK 的方向为 x z 的正方向 建立空间直角坐标系 Oxyz 由题意得 1 0 0 1 0 0 0 03