南理工线性系统理论课件6.ppt

能控性定义1 4 5设系统 A t B t C t 定义在时间域J上 如果对初始时刻t0 J 存在时刻tf t0 tf J 对t0时刻的任意初始状态x t0 x0 可以找到容许控制u t 在u t 的作用下 使状态轨线在tf时刻有x tf 0 则称系统在t0时刻是完全能控的 或者说在区间 t0 tf 上是完全能控的 如果对任意时刻t0 J t0不是J的右端点 都是完全能控的 则称系统是完全能控的 注1 tf时刻一般来说是依赖于初态x0的 但对能控系统来说 必须对所有初态存在一个共同的有限时刻tf i e tf可以取得与初始状态无关 仅取决于t0 注2 容许控制是指 在所讨论的区间内 平方可积函数u 根据定义 如果系统可控 则有即 定理1 4 2系统 A t B t C t 在时刻t0能控 存在有限时刻tf t0使得由 t0 s B s 的行向量组成的Gram阵非奇异 证明 充分性 已知存在tf t0使得L t0 tf 非奇异 设x0是任给的初态 取代入 1 4 7 右端则有 即所取的u t 满足 1 4 17 必要性 反证法 已知系统在时刻t0能控 但无论tf为任何值 L t0 tf 总是奇异的 由于系统能控 由定义知 存在tf t0 对任意初态有容许控制u 使得在u 的作用下 由初态出发的轨线在tf 时刻达到零状态x tf 0 对这个tf 也应有L t0 tf 奇异 即存在行向量a 0 使得aL t0 tf 0 进而有aL t0 tf aT 0 i e 这说明a t0 s B s 在区间 t0 tf 上几乎处处为零 另一方面 由于系统能控 对于x0 aT 也能找到 t0 tf 上的容许控制u0 s 使得 这表明a 0 此与a 0矛盾 推论1 4 1系统 A t B t C t 中 当B t 连续时 则系统在时刻t0完全能控 存在有限时刻tf t0使得 t0 s B s 的行向量在 t0 tf 上线性无关 定理1 4 3若A t B t 分别为n 2 n 1次连续可微 设 如果存在有限时刻tf t0使得rank B1 tf B2 tf Bn tf n则系统在t0时刻可控 证明 在tf处 求 t0 s B s 的导数直到n 1阶 由此得到 t0 tf B1 tf B2 tf Bn tf 由于 t0 tf 满秩 又rank B1 tf B2 tf Bn tf n 所以由引理1 4 2知 t0 s B s 的行向量在 t0 tf 上线性无关 于是由推论1 4 1知系统在t0能控 对于定常系统来说 t s eA t s 若令 t s 则定常系统的状态转移阵为 eA 因此 在定常系统的情形下 可以用eAtB来代替 t s 进行讨论 由引理1 4 2知 若在 0 上一点处有rank eAtB AeAtB A2eAtB n 则在全区间 0 上也有rank eAtB AeAtB A2eAtB n 由于rank eAtB AeAtB A2eAtB rank eAtB AeAtB A2eAtB t 0 rank B AB A2B Cayley HamiltonThm rank B AB A2B An 1B 定理1 4 4定常系统 A B C 能控 rank B AB A2B An 1B n 2 能观测性定义1 4 6 能观测性 给定系统 A t B t C t 如果对于时刻t0存在tf t0 使得任意初态x t0 通过量测时间间隔 t0 tf 上的输出y t 和输入u t 的值而能被唯一确定 则称系统在t0时刻是完全能观测的 或说系统在 t0 tf 区间上完全能观测 如果对任意时刻t0 J J是系统的时间域 t0不是J的右端点 都是完全能观测的 则称系统是完全能观测的 定理1 4 5 给定系统 A t B t C t 其中C t 连续 A t 分段连续 则系统在t0时刻能观测 tf t0 使得满秩 证明 充分性 已知O t0 tf 非奇异 对任意初态x t0 x0 有y t C t t t0 x0 两边左乘 T t t0 CT t 然后积分得到 由此可得即x0可由 t0 tf 上的输出y t 唯一确定 必要性 反证法 已知系统在t0能观测 即 tf t0使得通过量测 t0 tf 上的输出y t 唯一确定x t0 假设对任何的t t0 O t t0 总是奇异的 所以O tf t0 也是奇异的 因此 a 0 使得O tf t0 a 0 进而有aTO tf t0 a 0 即 由于C t 连续 可得到C t t t0 a 0 t t0 tf 若视a为初态x t0 则x t0 a引起的输出为y t C t t t0 a 0 t t0 tf 此说明初态x t0 a 0不能由 t0 tf 上的输出y t 唯一确定 这与题设矛盾 由此可知 定理结论成立 推论1 4 2在定理1 4 5所给的条件下 系统在t0能观测 tf t0使得在 t0 tf 上 C t t t0 的列线性无关 与定理1 4 3类似 可得如下定理 定理1 4 6设系统 C A 中 C A 分别为n 1 n 2次连续可微 记如果 tf t0使得 则系统在t0能观测 定理1 4 7定常系统 A B C 能观测 1 4 3伴随系统 称为系统 A t B t C t 的伴随系统 伴随系统的状态转移阵 t t0 与原系统的状态转移阵 t t0 的关