2018届高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程课件10新人教B版.pptx

2 2 1双曲线及其标准方程 1 双曲线的定义 1 前提要素 平面内 一个动点M 两个 F1 F2 一个常数2a 2 满足关系 3 限制条件 4 相关概念 两个定点F1 F2叫做双曲线的 两个定点之间的距离 F1F2 叫做双曲线的 定点 MF1 MF2 2a 2a F1F2 焦点 焦距 基础梳理 2 双曲线的标准方程 c 0 c 0 0 c 0 c a2 b2 1 双曲线中a b c的关系跟椭圆中a b c的关系有何区别 提示 双曲线中的a b c满足a2 b2 c2 而椭圆中a b c满足a2 b2 c2 双曲线中c最大 而椭圆中a最大 2 要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件 提示 要写出双曲线的标准方程需要确定a b的值 最关键的还要确定焦点的位置 思考运用 3 a 3 且焦点为F1 5 0 F2 5 0 的双曲线的标准方程是 解析 根据题意可得a 3 c 5 且焦点在x轴上 又b2 c2 a2 25 9 16 所以所求双曲线的标准方程为答案 1 对双曲线定义的理解双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征 定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据 设集合P M MF1 MF2 2a F1F2 2c 其中a c均为大于0的常数 当2a 2c时 集合P为双曲线 当2a 2c时 集合P为以F1 F2为端点的两条射线 当2a 2c时 集合P为空集 即动点M的轨迹不存在 知识点拨 2 对双曲线标准方程的认识 1 标准方程的代数特征 方程右边是1 左边是关于x y的平方差 并且分母大小关系不确定 2 a b c三个量的关系 标准方程中的两个参数a和b 确定了双曲线的形状和大小 是双曲线的定形条件 这里b2 c2 a2 与椭圆中b2 a2 c2相区别 且椭圆中a b 0 而双曲线中 a b大小不确定 题目类型一 双曲线的定义 技法点拨 双曲线定义中的限制条件 1 动点到两定点的距离之差 2 强调差的绝对值是常数 3 常数小于两定点间的距离 只要上述三个条件有一个不满足 动点的轨迹就不是双曲线 典例剖析 典例分析1 已知M 2 0 N 2 0 PM PN 3 则动点P的轨迹为 2 动点P到点M 1 0 的距离与到点N 3 0 的距离之差为2 则点P的轨迹是 1 由已知动点P到两定点M N的距离之差是常数3 且3 MN 4 所以动点P的轨迹是双曲线的一支 又 PM PN 0 所以动点P的轨迹是以M N为焦点的双曲线的右支 答案 以M N为焦点的双曲线的右支2 由已知 PM PN 2 MN 所以点P的轨迹不是双曲线 而是一条以N为端点的射线 答案 以N为端点的射线 思考 双曲线定义中去掉 绝对值 号 动点的轨迹有何变化 第1题中如何具体判断是双曲线的哪一部分 提示 1 若将双曲线定义中的绝对值号去掉 动点的轨迹成为双曲线中的一支 2 当去掉绝对值号时 要分清动点到两个焦点距离的远与近 此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支 变式训练 双曲线上一点P到点 5 0 的距离为15 则点P到点 5 0 的距离为 解析 双曲线的焦点为F2 5 0 和F1 5 0 由 PF1 PF2 8 PF1 15 8 PF1 23或 PF1 7 答案 7或23 题目类型二 双曲线标准方程的求法 技法点拨 1 双曲线标准方程的两种求法 1 定义法 定义是研究双曲线问题的基础和根本 根据双曲线的定义得到相应的a b c 再写出双曲线的标准方程 2 待定系数法 先设出双曲线的标准方程或 a b均为正数 然后根据条件求出待定的系数代入方程即可 2 求双曲线标准方程的两个关注点 1 定位 定位 是指确定与坐标系的相对位置 在 标准方程 的前提下 确定焦点位于哪条坐标轴上 以判断方程的形式 2 定量 定量 是指确定a2 b2的具体数值 常根据条件列方程求解 典例训练 1 已知双曲线C 的焦距为10 点P 2 1 在C的渐近线上 则C的方程为 A B C D 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程 1 a 4 且经过点 2 焦点在坐标轴上 且过点 解析 1 选A 由焦距为10 知2c 10 c 5 将p 2 1 代入得a 2b a2 b2 c2 5b2 25 b2 5 a2 4b2 20 所以方程为2 1 若所求双曲线的标准方程为则将a 4代入 得又 点在双曲线上 由此得b2 0 不合题意 舍去 若所求双曲线方程为则将a 4代入得代入点得b2 9 双曲线的标准方程为 2 解题流程 总结 1 双曲线焦点的判断方法 2 在双曲线焦点位置不明确的情况下 双曲线标准方程的求解方法 提示 1 双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式 观察双曲线的标准方程 x2 y2中哪一项的系数为正 焦点就落在哪个轴上 2 当双曲线的焦点位置不确定时 求双曲线的标准方程有两种思路 一是分别讨论焦点在x轴 y轴的情况 求解时要注意检验 二是设为一般形式Ax2 By2 1 A B 0 这样求解时既避免了分类讨论 又简化了运算过程 变式训练 根据下列条件 求双曲线的标准方程 1 双曲线的中心在原点 焦点在y轴上 且经过点 0 2 与 2 经过点 5 2 焦点在x轴上 解题指南 根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式 再利用待定系数法求标准方程 解析 1 因为双曲线的中心在原点 焦点在y轴上 所以可设双曲线的方程为又双曲线经过点 0 2 与所以所以双曲线方程为 2 焦点在x轴上 设所求双曲线方程为 其中0 6 双曲线经过点 5 2 5或 30 舍去 所求双曲线方程是 1 双曲线的两焦点坐标是F1 3 0 F2 3 0 b 2 则双曲线的标准方程是 A B C D 解析 选A 由题知b 2 c 3 a2 c2 b2 5 又焦点在x轴上 故选A 达标训练 2 双曲线方程为x2 2y2 1 则它的右焦点坐标为 A B C D 解析 选C 将双曲线方程化为标准形式所以 右焦点坐标为 3 设 是三角形的一个内角 且则方程所表示的曲线为 A 焦点在x轴上的椭圆 B 焦点在y轴上的椭圆 C 焦点在x轴上的双曲线 D 焦点在y轴上的双曲线 解析 选C 由得sin co