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3 3导数在研究函数中的应用 3 3 2极大值与极小值 一般地 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们就说f x0 是函数的一个极大值 记作y极大值 f x0 x0是极大值点 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们就说f x0 是函数的一个极小值 记作y极小值 f x0 x0是极小值点 极大值与极小值统称为极值 一 函数极值的定义 知识回顾 1 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量 x 的值 极值指的是函数值 y 注意 2 极值是一个局部概念 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 3 函数的极值不是惟一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 4 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 是极大值点 是极小值点 而 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义区间分成若干小开区间 并列成表格 检查f x0 在方程根左右的值的符号 求出极大值和极小值 二 求函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x0 2 求方程f x0 0的根 x为极值点 注意 如果函数f x 在x0处取得极值 意味着 一 最值的概念 最大值与最小值 新课讲授 如果在函数定义域I内存在x0 使得对任意的x I 总有f x f x0 则称f x0 为函数f x 在定义域上的最大值 最值是相对函数定义域整体而言的 1 在定义域内 最值惟一 极值不惟一 注意 2 最大值一定比最小值大 x1 x2 x3 b x y a O a b 二 如何求函数的最值 1 利用函数的单调性 2 利用函数的图象 3 利用函数的导数 如 求y 2x 1在区间 1 3 上的最值 如 求y x 2 2 3在区间 1 3 上的最值 2 将y f x 的各极值与f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 1 求f x 在区间 a b 内极值 极大值或极小值 利用导数求函数f x 在区间 a b 上最值的步骤 例1求函数f x x2 4x 3在区间 1 4 内的最大值和最小值 解 f x0 2x 4 令f x0 0 即2x 4 0 得x 2 8 3 1 故函数f x 在区间 1 4 内的最大值为8 最小值为 1 例2求f x x sinx在区间 0 2 上的最值 解函数f x
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