高等数学12数列极限（含weierstrass定理以及单调递增ppt课件

第一章 二 收敛数列的性质 三 极限存在准则 一 数列极限的定义 第二节 数列的极限 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 2 截丈问题 一尺之棰 日截其半 万世不竭 引例 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 正六边形的面积 正十二边形的面积 正边形的面积 用已知逼近未知 用近似逼近精确 圆的真实面积 LLLL 一数列的概念 如果按照某一法则 对每一 对应着一个 确定的实数 则得到一个序列 这一序列称为数列 记为 第项 叫做数列 的一般项 数列举例 注 数列可以看作自变量为正整数的函数 数列的概念 如果按照某一法则 对每一 对应着一个 确定的实数 则得到一个序列 这一序列称为数列 记为 第项 叫做数列 的一般项 x1 x5 x4 x3 x2 xn 数列的几何意义 次位于数轴上的坐标 数列可以看作数轴上的一个动点 它依次 数列的极限 数列的极限 数列的极限 数列的极限 数列的极限 数列的极限 数列的极限 数列的极限 通过演示实验的观察 数列的极限 例如 数列极限的通俗定义 问题 如何用数学语言刻画它 接近于常数 或者称 记为 趋势不定 意思 分析 无限接近于 无限变小 要多小就能多小 任意给定一个正数 无论多么小 总能小于事先给定的那个正数 任意给定一个正数 无论多么小 总能小于事先给定的那个正数 增大时 无限接近于 就能足够小 要多小就能多小 等价于 如上例 给定 给定 任意给定 给定 由 有 有 有 有 由 数列极限的精确定义 如果存在常数 对于任意给定 总存在正整数 使得当时 总有 成立 或者称数列 收敛于 记为 极限定义的简记形式 或 当时 的正数 数列极限的几何意义 1 任意给定的 有的邻域 2 存在 当时 全都落在 3 当时 当时 例如 趋势不定 收敛 发散 例1 证明 证明 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 二 收敛数列的性质 定理2 1收敛数列必有界 证 当 时 有 取 所以 收敛数列必有界 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 定理2 2收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 则 证 定理2 3有理运算法则 29 定理2 4收敛数列具有保号性 若 且 同号 并且若 证 当a 0 取 推论 保序性 设 恒有 若 例2求 解由于 根据有理运算法则得 例3求 解因为 根据有理运算法则得 例4求 解因为 所以 三 收敛准则 定理2 5单调有界数列必有极限 单调增 上有界数列必有极限 单调减 下有界数列必有极限 证明 不仿设数列为单调增加且有上界 根据确 1 2 界存在定理 由 构成的数集必有上确界 满足 因而 于是 证 设数列 是数列 的任一子数列 若 则 当 时 有 现取正整数K 使 于是当 时 有 从而有 由此证明 定理2 6收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 36 数列的子数列 子列 由此性质可知 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 例如 发散 则原数列一定发散 单调有界数列必有极限 证明 单调减 下有界 例5 1 证明 单调有界数列必有极限 证明 单调增 有上界 例5 2 证明 则 定理2 7 夹逼定理 如果 证 例6证明 证 例7计算 解 定理2 8 Weierstrass定理 有界数列必有收敛子列 为一有界数列 则必存在 使得 证 设 根据单调有界原则 为了证明定理的结论 只要在任何情况下都能 从逻辑上看 则 都有 或为有限集 为无限集 仅有两种情况 在该数列中找到一个单调的子列就行了 设 或为有限集 则 1 若 同理 使 的定义 大于 如此继续下去 所以根据 中所有的数 因为 得到 根据 故 为一个无限子集 设该无限子集中 的元素按严格单调递增的顺序排列为 3 若 综上可知在任何情况下定理都是成立的 是一个收敛子列 的严格单调递增子数列 所以 的定义 则有 是 定理2 9 Cauchy收敛原理 数列 极限存在的充要条件是 存在正整数N 使当 时 证 必要性 设 则 时 有 使当 因此 充分性 证明从略 有 柯西 46 例设 证明数列 证 要证 收敛 只要证明它满足Cauchy条件 由于 柯西 收敛 47 所以 故原数列满足Cauchy 柯西 只要取 则 及 恒有 条件 所以收敛 例设 证明数列 证 要证 发散 只要证明它不满足Cauchy条件 使 也就是说 只要证明 就行了 对于 取 发散 由于 故 不满足Cauchy条件 发散 内容小结 1