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2 2 2椭圆的简单几何性质 三 椭圆的定义 这个定义称为椭圆的第二定义 定点称为椭圆的焦点 定直线称为椭圆的准线 归纳 椭圆的第一定义与第二定义是相呼应的 直线与椭圆的位置关系 1 位置关系 相交 相切 相离2 判别方法 代数法 通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组 对解的个数进行讨论 通常消去方程组中的一个变量 得到关于另一变量的一元二次方程 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 通法通解 问题 已知直线y x 0 5与椭圆x2 4y2 2 判断它们的位置关系 解 联立方程组 消去y 因为 0 所以 方程 有两个根 那么 相交所得的弦的弦长是多少 则原方程组有两组解 1 热身一下 问题 设直线与椭圆交于P1 x1 y1 P2 x2 y2 两点 直线P1P2的斜率为k 弦长公式 问题探究 1 K为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 尝试一下 问题 最大的距离是多少 解 例2 若P x y 满足 求的最大值 最小值 展示能力 例3 已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点 交椭圆于A B两点 求弦AB之长 展示能力 变式 若直线斜率为1 截上述椭圆所得的弦长为 求直线的方程 例4 已知椭圆过点P 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 解 韦达定理 斜率 韦达定理法 利用韦达定理及中点坐标公式来构造 展示能力 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率 点 作差 展示能力 课堂练习 1 如果椭圆被9x2 36y2 324的弦被 4 2 平分 那么这弦所在直线方程为 A x 2y 0B x 2y 4 0C 2x 3y 12 0D x 2y 8 0 D 16 5 展示能力 3 弦中点问题的两种处理方法 1 联立方程组 消去一个未知数 利用韦达定理 2 设两端点坐标 代入曲线方程相减可求出弦的斜率 点差法 1 直线与椭圆
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