高一数学教材分析直线与方程课件

1 高一教材分析 直线与方程 2 通过我们的教 让我们的学生学会什么 生存与生活 认识世界 适应社会 实现价值理性地 科学地认识世界合理地 充分地融入社会有效地 全面地实现价值 而不是接受无用的结论和仅会做人为编造的题目 我们为什么要学习解析几何 一是数学学科本身的需要 它能把几何元或形之间的关系数字化 精确表示出不同几何元和形之间的位置关系 二是生活实践的需要 比如在信息技术高速发展的今天 大量图形都通过计算机处理和存储 例如要存放一个红色虚细线描绘的三角形 只要存储三个顶点的坐标 线型 色别码及连线顺序 计算机根据这些信息 会算出连接这三点的直线方程 然后在计算机坐标系内按要求的线型和色别 逐点描绘直线上的点 三角形就会再现于显示屏上 这种存储方式相对于全息存储不但信息量少 而且更加精确 可见计算机存储离不开几何的数字化 也即离不开解析几何 3 一 解析几何定位 一 解析几何的产生及其价值 由数学的发展史知 近代数学起源于解析几何与微积分的发明 17世纪的前半叶 一些优秀的数学家已经接近了解析几何的观念 但是只有两位数学家才特别清楚地认识到创立新的数学部门的可能性 这就是法国的笛卡尔和费马 他们分别创立了解析几何 但主要的创立者无论如何总该是笛卡尔 唯有作为哲学家的笛卡尔 才提出了它的全面推广问题 参见 前苏联 亚历山大洛夫 数学的内容 方法和意义 197页 5 笛卡尔创立解析几何有着深刻的背景 他于1637年发表了著名的哲学著作 更好地指导推理和寻求科学真理的方法论 该书有三个附录 解析几何的发明就包含在其中之一的 几何学 中 几何学 这本书的内容不仅仅是几何 也有很多代数的问题 它和现在的解析几何教科书有很大的差距 但可贵的是它引入了革命性的思想 为开辟数学的新园地作出了贡献 6 笛卡尔和费尔马都是对普适性方法的追求导致了解析几何思想的产生 可以说解析几何具有浓厚的 方法论 色彩 9 二 解析几何的科学价值 开创近现代数学的先河 将变量和坐标观念引入了数学 开创机械化计算方法 提出一切问题都可以归结为解方程的 通用数学 方案 科学方法论的突破 提出将数学作为一种方法科学的直观 演绎法的方法论 10 18世纪法国著名数学家拉格朗日曾说 只要代数同几何分道扬镰 它们的进展就缓慢 它们的应用就狭窄 但是 当这两门科学结合成伴侣时 它们就互相吸取新鲜的活力 从那以后 就以快速的步伐走向完善 随着解析几何的诞生 历史掀开了新的一页 近代数学的序幕拉开了 约瑟夫 路易斯 拉格朗日 Joseph LouisLagrange1735 1813 法国数学家 物理学家 11 三 解析几何的主要思想方法 学习解析几何 主要是掌握它的基本思想 基本方法 而不仅仅在于记住它的某些具体结论 苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的 解析几何 前言中说 解析几何没有严格确定的内容 对它来说 决定性的因素 不是研究对象 而是方法 12 解析几何与欧氏几何研究方法之异同 几何问题研究 解析几何 代数方法 欧氏几何 逻辑演绎 13 在平面解析几何中 所用的研究方法与欧氏几何不同 它是在直角坐标系的基础上 用坐标表示点 用方程表示曲线 包括直线 通过方程研究曲线的性质 通过方程组的解研究几何图形之间的位置关系 14 直角 坐标系 定点 有序常数对 a b 连续地运动 动点 有序变数对 x y 平面曲线 二元方程 一一对应 一一对应 15 点在曲线上 点的坐标适用于此曲线方程 曲线上所有点的集合 曲线方程的解集 研究曲线的几何问题 研究方程的代数问题 由对方程研究得知曲线的几何性质 解析几何核心概念 曲线和方程的概念 16 解析几何解决问题的一般方法 几何结论 几何问题 代数问题 代数结论 坐标法 还原 代数运算 三步曲 17 二 直线与方程 18 19 学习解析几何为什么从学习 直线与方程 入手 一方面 直线是最简单 而又可以体现解析几何基本研究方法的几何图形 另一方面 以直线为载体 既可以很好的研究斜率 距离和中点等解析几何的基本方法工具 又可以很好的体现曲线与方程的理念与思想 20 如何入手 展开对 直线与方程 的学习 2005年北京市高中生数学应用知识竞赛 2005年第19号热带风暴 龙王 于9月26日在西北太平洋洋面生成 27日上午加强为台风 10月2日05 30在台湾省花莲市附近沿海登录 登陆时最大风速50m s 随后继续向西运动 向福建沿海靠近 如果我们可以粗略地把这时台风影响区域看成是一个半径为300km的圆 福建厦门在花莲市西340km 如果台风中心在福建厦门登录后 将向西偏北45度方向运动 并不断衰减 运动速度下降为18km h 它的影响半径1h平均减少4km 由此估计 这个台风对相距厦门500km 北偏西30度的南昌是否产生影响 如果有影响 估计影响时间为多久 由实际需求所产生的学习动机 更加有效 更加持久 21 在平面直角坐标系中 结合具体图形 探索确定直线位置的几何要素 理解直线的倾斜角和斜率的概念 经历用代数方法刻画直线斜率的过程 掌握过两点的直线斜率的计算公式 能根据斜率判定两条直线平行或垂直 根据确定直线位置的几何要素 探索并掌握直线方程的几种形式 点斜式 两点式及一般式 体会斜截式与一次函数的关系 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标 探索并掌握两点间的距离公式 点到直线的距离公式 会求两条平行直线间的距离 一 课标要求 22 二 高考说明 从几何直观到代数表示 建立直线的方程 23 从代数表示到几何直观 通过方程研究几何性质和度量 24 25 三 考题示例 26 三 考题示例 27 三 考题示例 28 三 考题示例 29 三 考题示例 30 三 考题示例 31 四 自己开展教学的几点想法 实际上就是直线的方向性 这一点与其它几个研究平面问题的工具是一致的 它们分别是平面向量 复数和极坐标 其中平面向量的内容学生已经学过了 所以刻画直线倾斜程度的指标除了课本上提到的倾斜角 斜率 坡度之外 还可以提一下方向向量 什么是直线的倾斜程度 1 关于直线的倾斜程度的认识 32 所有的直线都有倾斜角 几何角度 且是唯一的 不是所有的直线都有斜率 代数角度 如果有斜率是唯一的 不是所有的直线都有坡度 代数角度 如果有坡度是唯一的 但是不同方向的直线可能有相等的坡度 所有的直线都有方向向量 代数角度 但方向向量不唯一 上述指标各有怎样的特点呢 33 基于解析几何的学科方法是几何问题代数化 因此直线的倾斜程度的研究从倾斜角开始入手 经坡度过度 建立起斜率与倾斜角 不等于90度 的关系 34 2 关于直线的方程与方程的直线 直线 点 坐标 解 方程 直线 点 坐标 解 方程 35 通常有这样几种处理方法 1 从两点间斜率公式入手 先研究点斜式方程 2 从初中的一次函数入手 先研究斜截式方程 3 从直线的方向向量入手 先研究点向式方程 3 直线的方程从哪儿开始研究 考虑到解决解析几何问题的方法模型 几何问题 代数问题所以课本采取的是第 1 种处理方法 36 4 直线的方程的几种形式之间的关系 两个点 点和斜率 特殊化 点和倾斜角 一般化 不变量 特殊化 37 5 关于直线方程的变式 点斜式的变式 横纵角色 斜截式的变式 横纵角色 38 5 关于直线方程的变式 两点式的变式 对称整式 截距式的变式 伸缩变换 39 5 关于直线方程的变式 一般式的变式 变量控制 参数式方程 变量分离 其中是参数 40 5 关于直线方程的变式 点向式方程 拓维基础 点法式方程 拓维基础 其中 a b 是方向向量 其中 a b 是法向量 41 6 关于点到直线的距离 可以作为研究的课题 尝试多种推导方法 1 过点作直线的垂线 求点到垂足的距离 分类讨论 水平 垂直 斜向 求垂线方程 两条直线垂直的斜率关系 求垂足坐标 两条直线的交点坐标 求两点距离 两点间的距离公式 42 6 关于点到直线的距离 2 过点作水平 竖直直线 分别与直线相交 构造直角三角形 求点到斜边的距离 分类讨论 水平 垂直 斜向 求水平 竖直方程 特殊直线方程 求交点坐标 两条直线的交点坐标 求三边长度 两点间的距离公式 求点到斜边距离 用等面积法 43 6 关于点到直线的距离 3 利用向量的投影 求点P到直线l的距离 求直线的法向量n 在l上任选一点Q 构造向量PQ 求PQ在n方向上的投影长度 44 6 关于点到直线的距离 4 在直线上任选一点 求两点间的距离 在直线上任选一点 表示出两点间的距离 求距离的最小值 45 7 对称 对称问题 综合了直线部分的几乎所有内容 包括点与直线的关系 直线与直线的平行与垂直关系 两条直线的交点 两点距离 点线距离 线线距离等内容 同时综合考查数形结合思想 分类讨论思想 函数与方程思想和转化与构造等 与其相关的几何图形包括等腰三角形和菱形等常见图形 2013年高考北京卷理科第19题就涉及到了对菱形的研究 46 8 三角形的四心 有关三角形的四心 一直是比较鸡肋的问题 我们总是关心初中讲没讲 个人认为不管初中讲没讲 我们给学生讲一下总是可以的 在哪里讲 有两个地方 一个地方是学向量的时候 可以给学生讲四心的向量表达 另一个地方就是直线部分 可以给学生讲四心的坐标化问题 讲到什么程度 根据学生情况而定 好点的学生就多讲一点 差点的学生就少讲一点 类似重心坐标公式这些内容是必需要讲一下的 47 9 关注课本的旁白 脚注 思考和探究 48 9 关注课本的旁白 脚注 思考和探究 问题是数学的心脏 问题是思考的结果 又是深入探究的开始 同时也是激发 再创造 的源泉 要结论 也要过程 不仅要让学生知道数学的结论 还要经历它的形成与演变过程 不仅看到逻辑之美 而且还要欣赏到形象之美 直观之美 本章共设置了15个思考问题 4个探究问题 7个提示性问题 1个探究与发现 1个阅读与思考 49 10 关注课本例题 练习 习题和复习参考题 例题和练习是直接针对内容的较直接的 综合程度不太高的题目 所有同学应知应会 习题和复习参考题的A组题稍有综合 难度中档 习题和复习参考题的B组题难度较大 要求较高 课本的四套B组题中 有9道题涉及到三角形或四边形的性质问题 突出使用代数方法研究几何问题 有2道利用图形证明不等式 突出借助几何图形研究代数问题 总起来就是代数 几何相互为用 2道方程形式推广 点向式 点法式 1道信息技术应用 1道线性差值 数据拟合 作为知识的适当拓展 需要关注 充分利用课本的习题资源 没有必要用题海把学生淹死 直线的倾斜角的定义 直线与轴平行或重合时 规定其倾斜角为00 对于一条与轴相交的直线 把轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角 内容分析示例 50 从静态的观点看 直线的倾斜角是直线向上的方向与轴的正方向所夹的角 直线的倾斜角可以从以下几方面理解 从用运动变化的观点来看 直线的倾斜角是由轴绕交点按逆时针方向转动所成的最小角 倾斜角 的取值范围是 内容分析示例 51 平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾斜程度 且倾斜程度相同的直线 其倾斜角相等 倾斜程度不同的直线 其倾斜角不相等 倾斜角是一个几何概念 它直观地描述了直线对轴正方向的倾斜程度 而倾斜程度刻画了直线在直角坐标系中的方向 内容分析示例 52 直线的斜率是用代数方法刻画直线相对于轴正方向的倾斜程度的 斜率是一个数值 理解斜率需要注意以下几点 两点可以唯一确定一条直线 因此 两点就唯一确定了过这两点的直线的倾斜程度 直线斜率的计算公式与两点的顺序无关 即两点的横 纵坐标在公式中的前后次序可以同时颠倒 内容分析示例 53 垂直于轴的直线是一种特殊的情况 按照斜率的定义 这条直线的斜率是不存在的 因此 要认识到对于一般直线来说 要考虑不垂直于轴和垂直于轴两种情况 前者有斜率 后者无斜率 如果用直线的倾斜角来表述 直线的倾斜角 90o时 斜率不存在 但是直线存在 内容分析示例 54 斜率与倾斜角的关系 倾斜角和斜率都是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度 使用斜率比倾斜角更加方便 斜率的绝对值越大 倾斜程度也越大 内容分析示例 56 教学例题示例 57 教学例题示例 58 教学例题示例 59 教学例题示例 60 教学例题示例 2015年3月23日 61 教学例题示例 62 教学例题示例 63 教学例题示例 64 教学例题示例 65 教学例题示例 66 教学例题示例 67 教学例题示例 68 教学例题示例 线性规划问题 课程标准 从实际情境中抽象出二元一次不等式组 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 从实际情境中