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双曲线的定义及标准方程 如图 A MF1 MF2 F2F 2a 如图 B 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 MF1 MF2 2a 差的绝对值 MF2 MF1 F1F 2a 两个定点F1 F2 双曲线的焦点 F1F2 2c 焦距 1 2a 2c 平面内与两个定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 小于 F1F2 的点的轨迹叫做双曲线 2 2a 0 双曲线定义 说明 MF1 MF2 2a 思考 1 平面内与两定点的距离的差等于常数2a 小于 F1F2 的轨迹是什么 2 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 等于 F1F2 的轨迹是什么 3 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 大于 F1F2 的轨迹是什么 双曲线的一支 是在直线F1F2上且以F1 F2为端点向外的两条射线 不存在 1 当 MF1 MF2 2a F1F2 时 2 当 MF1 MF2 2a F1F2 时 3 当 MF1 MF2 2a F1F2 时 M点的轨迹不存在 4 当 MF1 MF2 2a 0时 M点轨迹是双曲线 其中当 MF1 MF2 2a时 M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支 当 MF2 MF1 2a时 M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支 M点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线 M点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 结论 求曲线方程的步骤 双曲线的标准方程 1 建系 以F1 F2所在的直线为x轴 线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 2 设点 设M x y 则F1 c 0 F2 c 0 3 列式 MF1 MF2 2a 4 化简 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 若建系时 焦点在y轴上呢 谁正谁对应 看前的系数 哪一个为正 则在哪一个轴上 焦点的位置与分母的大小无关 2 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系 1 如何判断双曲线的焦点在哪个轴上 问题 F c 0 F c 0 a 0 b 0 但a不一定大于b c2 a2 b2 a b 0 a2 b2 c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 MF1 MF2 2a MF1 MF2 2a F 0 c F 0 c 例1 已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6 则 1 a c b 2 双曲线的标准方程为 3 双曲线上一点 PF1 10 则 PF2 3 5 4 4或16 6 例1 已知双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 双曲线上一点P到F1 F2的距离的差的绝对值等于8 求双曲线的标准方程 练习二 写出双曲线的标准方程
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