1.4二次函数的应用（三）.doc

1.4.3二次函数的应用教案 采荷中学 潘丽丽一、学习目标1、会运用一元二次方程求二次函数的图象与x轴或平行于x轴的直线的交点坐标，并用来解决相关的实际问题。2、会用二次函数的图象求一元二次方程的解或近似解。3、进一步体验在问题解决的过程中函数与方程两种数学模式经常需要相互转换。二教学重点和难点：-121xy3-1-重点：问题解决过程中二次函数与一元二次方程两种数学模型的转换。难点：例4涉及较多的“科学”知识，解题思路不易形成，是本节教学的难点。三教学过程（一）老题解析：1. 求直线y=2x+2与 y= 的交点坐标2. 利用函数图象，当x取何值时， 2x+2= ， 2x+2？师：我们已经学过哪几类函数？生：一次函数，反比例函数，二次函数。师：还记得第一题是怎么解的吗？生：连列方程组，消去y，得到2x+2=，然后解出方程，方程的解就是图像交点的横坐标，把横坐标代入解析式，再得到纵坐标。（教师板书）师：很好。我们已经学习了，两个图像交点的横坐标即为方程的解（板书）。师：那么第二题呢？生：令y1=2x+2， y2=，只要通过图像看交点横坐标就可以了。师：（引导得出）此时，求方程的解，可以构造函数，通过函数图像的交点横坐标求出来。那么又如何解决这个不等式呢？生：构造函数：令y1=2x+2， y2=，通过观察交点左右两部分图像的上下位置关系，2x+2即y1 y2，就是直线在双曲线下方的部分。从而得出该不等式的解集。师：在解这两题的过程中，我们用到了什么数学思想？生：数形结合思想和转化思想。师：即把函数模型转化为方程模型。我们已经会求直线和双曲线的交点坐标问题，两个图像的交点还可以怎样的两个图像组合呢？生：抛物线和直线，抛物线和双曲线。ax+bx+c=mx+n的解抛物线y=ax+bx+c与直线y=mx+n的交点横坐标ax+bx+c=的解 的解抛物线y=ax+bx+c与双曲线y=的交点横坐标师：还有补充吗？生：抛物线和抛物线！（虽然抛物线自身的交点问题研究甚少，但是对提升学生有序思考的能力十分有帮助。）师：那么你们会探究该类图像的交点问题了吗？我们看这样一个例题。（使学生明白学习的一般路径，方法不变，增强他们的学习自信。） (复习回顾，学生在学习一次函数和反比例函数时，已经掌握求求图像交点的方法；并且已经掌握利用图像求方程的解或不等式的解集问题。设计老题解析环节，学生通过会做的题审视解题方法和思路，通过类比探究方法，自然得出与二次函数相关的图像交点问题以及利用图像求二次方程的解或二次不等式的解集问题。）（二）新知导学1.例4.一个球从地面上竖直向上弹起时的速度为10m/s，经过t(s)时球的高度为h(m)。已知物体竖直上抛运动中，(v0表示物体运动上弹开始时的速度，g表示重力系数，取g10m/s2)。问球从弹起至回到地面需多少时间？（在学案上完成，一个学生画图板演过程）师：（问板书同学）说说你的想法，怎么得到h=10t-5t呢？生：（引导学生说）分析里的变量和常量，其中的v0、g都是常量，代入即得到二次函数关系式。师：分析为什么h=0呢？生：球从弹起至回到地面就是把h=0代入。师：还有没有补充？（大部分学生能够把“弹起时”和“回到地面”转化为数学语言，即h=0，但教师还应当引导学生分析：h这个变量的意义是什么？如题所指，h表示从地面竖直向上抛起球离地面的高度，所以此处h=0；若从桌面上向上抛，回到地面，此时弹起时h就等于桌子的高度了。此处需要教师引导。） 师：从图像上来看，就是求什么？ 生：h=10t-5t 和x轴的交点横坐标的差。（还需进一步解释为什么求差。）师：球从地面弹起，到回到地面的时间指两个时间点的差，所以此处求出t后要相减。变式（1）经多少时间球的高度达到3.75m?师：如何解决变式（1）？生：即h=3.75.师：从图像的角度呢？生：h=10t-5t 和直线h=3.75的交点横坐标，同理，转化为方程的解变式（2）：上题中，球的高度能达到6米吗？请说明理由.生1：通过求最大值，发现h最大=5，不可能达到6米。生2：也可以通过求h=10t-5t与h=6的交点，发现方程10t-5t=6无解，即抛物线和直线无交点。师：平行于x轴的直线可以更一般的表达成什么函数解析式？（直线y=m） 是否一定有交点呢？如何判定？师：怎么求抛物线和更一般的直线的交点坐标呢？（设计该问题的目的：方程的解可以解决两个图像的交点坐标问题，也可以通过方程解的个数解决图像交点个数问题。）生：抛物线和直线的交点个数取决于方程的解的个数。（教师板书该规律，并总结）二次函数y=ax+bx+c和y=mx+n图象交点个数一元二次方程ax+bx+c=mx+n的根一元二次方程根的判别式有两个交点有两个不相等的实数根0有一个交点有两个相等的实数根0没有交点没有实数根02.学生练习：抛物线y=2xx1与直线y=kx1恰好有一个交点，求k的值。（巩固新知，再次体验函数模式转化为方程模式）3.师：刚才我们感受了函数模型转化为方程模型，反之，方程能否转化为函数来解决呢？请看例题5.例5.利用二次函数的图象求一元二次方程 x+x1=0 的近似解（精确到0.1）。师：怎么思考？生：构造二次函数，令y1= x+x1， y2=0（x轴），抛物线y= x+x1与x轴的交点横坐标就是方程的解。师：怎么画出图像？取点的原则是什么？（学生可能会五点法画图，此时已经求出方程的解，提醒学生可用列表、描点、连线） 生：必须对称，尽量使计算简便。师：请继续完成剩余步骤。在学案上画出抛物线。x的值y= x+x1的值师：观察图形，得到的交点横坐标x10.6，x21.6，有些同学有不同的答案，到底取哪个呢？生：求根公式求出检验，或代入检验。师：刚才构造了二次函数y= x+x1，还有不同的方法吗？ 生1：通过移项x+x=1，令y1= x+x， y2=1；生2：移项得x1 =x，令y1= x1， y2=x；生3：移项得x =x+1，令y1= x， y2=x+1；师：通过移项，我们可以构造自己喜欢的函数。师：（此时学生感觉不能再有新的构造方法，需要引导）刚才大家构造了函数，有个共同点，都是通过抛物线和直线的交点解决方程的解，那么？生4：可以两边同除以x，然后移项得x+1=，令y1= x+1， y2=（此时学生受到启发，打开了思路，继续踊跃思考）生5：还可以是抛物线和抛物线的交点，把x+x1=0变成2xx+x1=0，令y1= 2x， y2=xx+1 （该题通过问题设计，打开学生思维，提升能力，通过课堂引入有序思考的训练和启发，此处个别学生能够思维扩张，逻辑严密，他的发言成为课堂一道风景。）师：如果自己画图，觉得哪种方法最简单？（学生会选择方法3，即令y1= x， y2=x+1.让学生操作几何画板找出交点横坐标，学会利用教学软件解决数学问题）师：利用刚才的图像，你能求x x+1的解集吗？生：令y1= x， y2=x+1，即y1 y2，抛物线在直线上方的所对应的x的范围。师：非常好，在解决方程的解的问题是，把方程模型转化为函数模型，同时把不等式模型也转化为函数模型。抛物线y=ax+bx+c与x轴的交点横坐标ax+bx+c=mx+n的解抛物线y=ax+bx+c在直线y=mx+n的上方所对应的x的值ax+bx+cmx+n的解集师：当然我们也会遇到像这样的方程（如下图），需要转化为函数模型；还有像这样的不等式（如下图），需要转化为函数模型。（可提示学生观察能否直接求解方程。）抛物线y=ax+bx+c与双曲线y=的交点ax+bx+c=的解的解ax+bx+c的解集的解抛物线y=ax+bx+c与双曲线y=的交点4.继续挑战：变式1. 利用例题的图象，请判断方程x2+x1的负根的个数.变式2：利用例题的图象，若关于x的一元二次方程x+x1-t=0（t为实数）在-2x的范围内有解，求t的取值范围.（让学生感受二次不等式模型与二次函数模型的转化。变式1通过图像，准确清晰的了解了方程的解的范围，感受运用数学转化思想时数形结合的直观性；变式2，通过对题目“有解”这个条件的探索，转化为函数图像有交点，从而根据图