浅谈极限对数学的意义.doc

浅谈极限对数学的意义极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。极限的思想由来已久.公元前三世纪,古代伟大的科学家阿基米德，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，而公元前五世纪，我国的庄周所著的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。 这其中就用到了极限思想。这些早期的极限思想还很原始与朴素，但为其后极限的发展奠定了基础。说到极限的作用，就不得不提到微积分。可以说极限就是微积分的基础，而微积分的发展是建立在极限理论发展之上的。而微积分对现代文明的贡献之大毋庸置疑。由此极限的重要性可见一斑。现在任何一所大学的数学系的学生都会先学极限，之后再学微积分。但历史上微积分却比极限产生的早，可以说微积分是一个早产儿。这个早产儿在实际中应用的非常好，但是在理论上却是模糊不清。由此还引发了第二次数学危机。拯救危机的方法就是清晰的定义极限。十七世纪，微积分出现了。领军人物是两个伟大的智者。一个家伙叫牛顿，而另一个叫莱布尼茨。牛顿通过对力的研究发明了微积分，虽然现在看来这样的微积分还很原始，仅仅涉及一重，只有一个变量。但是它的意义是无可估量的。而莱布尼茨则通过对切线的研究，得到了微积分。他不仅发明了微积分，而且现代微积分很多符号都是他定义的，他在理论方面的研究价值巨大。可是无论是牛顿，还是莱布尼茨，都有一些基本的理论问题无法解决。而这些问题也困扰了他们一生。到底是什么样的问题呢？首先我们要来了解微积分是什么。微积分分为微分和积分。微分的定义为：设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + x在此区间内。如果函数的增量y = f(x0 + x) f(x0)可表示为 y = Ax + o(x)（其中A是不依赖于x的常数），而o(x0)是比x高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且Ax称作函数在点x0相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy = Ax。其中的A就是我们高中时所学的导数。我们的确这样定义了微分，可是问题来了，什么事无穷小量，这是一个毫无概念东西，既无数学公式，又无严谨的证明。至于高阶无穷小量，它本身就是一个基于无穷小量的概念，没有无穷小量，高阶更无从谈起。积分的定义：首先有一个连续函数 on the interval在区间 上.Begin with a continuous functio。Let让 . . . be an arbitrary (randomly selected) partition of the interval是任意（随机选择）的间隔分区 , which divides the interval into ，其中分为间隔成 subintervals (subdivisions).子区间（细分）。 Let让 . . . be the sampling numbers (or sampling points) selected from the subintervals.采样（采样点）的子区间选择。 That is,也就是说， 在 ，在 , ，is in在 , . . . , ，和and is in在 . 。Define the mesh of the partition to be the length of the largest subinterval.定义分区网格最大的子区间的长度。 That is, let也就是说，让 ，for为 and define并定义 The definite integral of定积分 on the interval在区间 is most generally defined to be是最普遍的定义为 。定积分这里同样有问题，mesh趋近与0到底是一个什么样的概念呢。与0距离是多少算趋近，1,1/2，还是1/n。后来人们发现，微积分的问题不在本身，而在于它的理论基础。十九世纪，一个伟大的数学大师解决了这个问题：柯西。法国数学家柯西通过对极限的严格定义，来澄清微积分上的基础问题的混乱。他是这样定义函数极限的：设f:(a,+)R是一个一元实值函数，aR.如果对于任意给定的0，存在正数X，使得对于适合不等式xX的一切x，所对应的函数值f(x)都满足不等式.f(x)-A则称数A为函数f(x)当x+时的极限，记作f(x)A(x+).这样对极限的完美定义，使得微积分一下变得清晰明了。而他对极限的定义方法，却是用有限的数X来定义无限趋近这一概念。这样的定义既简单，又容易让人理解。同时也让人们对微积分有了更深一步的认识，为微积分的发展做出了巨大贡献。因为在二重，三重，甚至多重微积分中，直观的感受已经无法描述出微积分的概念。而通过极限却可以让人很好的理解，研究微积分。二重积分定义：设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域i(i=1,2,3,n)，并以i表示第i个子域的面积.在i上任取一点(i,i),作和lim n+ (n/i=1 (i,i)i).如果当各个子域的直径中的最大值趋于零时, 此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D上的二重积分,记为f(x,y)d,即f(x,y)d=lim n+ （f(i,i)i）三重积分定义：如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x y z)在闭区域上的三重积分。多重微积分的发展极大的推动了科学的进步，不光是物理学等基础学科的发展。 工程力学，机械科学等实用性学科也发展了起来。同时极限理论的发展导致了微积分的大发展。从而一个新的数学分支出现了：数学分析。数学分析分支现在成为了数学系学生的必修课，而其他理工科类也必须学习一定的数学分析知识，可以说数学分析分支是数学分支中应用最广的。我是数学系学生，学得一年，自我感受，数学分析整本书最重要的就是极限理论。极限的思想是无限靠近，通过有限来定义无限。这个思想贯穿了整本书。如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“