高中数学第一章计数原理5_2二项式系数的性质课件北师大版选修2_3

5 2二项式系数的性质 第一章 5二项式定理 学习目标1 了解杨辉三角 会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数 2 理解二项式系数的性质并灵活运用 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点二项式系数的性质 a b n的展开式的二项式系数 当n取正整数时可以表示成如下形式 思考1 同一行中 系数有什么规律 答案 答案两端都是1 与两端1等距离的项的系数相等 思考2 相邻两行 系数有什么规律 答案在相邻两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两个数的和 即 1 在同一行中 每行两端都是1 2 在相邻的两行中 除1以外的每一个数都等于它 肩上 两数的和 即二项式系数满足组合数的性质 3 与首末两端 的两个二项式系数相等 即二项式系数具有对称性 即 杨辉三角 蕴含的规律 梳理 等距离 特别提醒 1 二项式系数性质类似于组合数的两个性质2 从二项式系数表中可以看出 a b n的展开式中二项式系数先增加 后减少 各二项式系数的和等于2n 即 2n 题型探究 解答 类型一与杨辉三角有关的问题 例1如图所示 在 杨辉三角 中 从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列 1 2 3 3 6 4 10 5 记其前n项和为Sn 求S16的值 解由题意及杨辉三角的特点可得S16 1 2 3 3 6 4 10 5 36 9 解答 引申探究本例条件不变 若改为求S21 则结果如何 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 反思与感悟 跟踪训练1如图所示 在由二项式系数所构成的杨辉三角中 第 行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2 3 答案 解析 34 解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2 3 它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比 解得n 34 所以在第34行中 从左至右第14个数与第15个数的比是2 3 解答 类型二求展开式的系数和 例2设 2 x 100 a0 a1x a2x2 a100 x100 求下列各式的值 1 a0 2 a1 a2 a3 a4 a100 解令x 0 则展开式为a0 2100 3 a1 a3 a5 a99 4 a0 a2 a100 2 a1 a3 a99 2 解答 5 a0 a1 a100 解答 a2k 1 0 k N 二项展开式中系数和的求法 1 对形如 ax b n ax2 bx c m a b c R m n N 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令x 1即可 对 ax by n a b R n N 的式子求其展开式各项系数之和 只需令x y 1即可 2 一般地 若f x a0 a1x a2x2 anxn 则f x 展开式中各项系数之和为f 1 反思与感悟 跟踪训练2在二项式 2x 3y 9的展开式中 求 1 二项式系数之和 2 各项系数之和 解设 2x 3y 9 a0 x9 a1x8y a2x7y2 a9y9 解答 解各项系数之和为a0 a1 a2 a9 令x 1 y 1 所以a0 a1 a2 a9 2 3 9 1 3 所有奇数项系数之和 解答 解令x 1 y 1 可得a0 a1 a2 a9 59 又a0 a1 a2 a9 1 解答 类型三二项式系数性质的应用 例3已知f x 3x2 n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992 1 求展开式中二项式系数最大的项 解令x 1 则二项式各项系数的和为f 1 1 3 n 4n 又展开式中各项的二项式系数之和为2n 由题意知 4n 2n 992 2n 2 2n 992 0 2n 31 2n 32 0 2n 31 舍去 或2n 32 n 5 由于n 5为奇数 展开式中二项式系数最大的项为中间的项 它们分别为 2 求展开式中系数最大的项 解答 r N r 4 1 二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项 根据二项式系数的性质对 a b n中的n进行讨论 当n为奇数时 中间两项的二项式系数最大 当n为偶数时 中间一项的二项式系数最大 2 展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的 需要根据各项系数的正 负变化情况进行分析 如求 a bx n a b R 的展开式中系数的最大项 一般采用待定系数法 设展开式中各项系数分别为A0 A1 A2 An 且第r 1项最大 应用解出r 即得出系数的最大项 反思与感悟 当r 4时 展开式中的系数最大 即T5 70 x4为展开式中的系数最大的项 当r 3或5时 展开式中的系数最小 即T4 56x7 T6 56x为展开式中的系数最小的项 跟踪训练3已知 x2 n展开式中的二项式系数的和比 3a 2b 7展开式的二项式系数的和大128 求 x2 n展开式中的系数最大的项和系数最小的项 解2n 27 128 n 8 解答 当堂训练 2 3 4 5 1 1 1 2x 10的展开式中各项系数的和为A 310B 210C 1D 1 解析 解析设f x 1 2x 10 a0 a1x a2x2 a10 x10 令x 1得各项系数的和为a0 a1 a2 a10 310 答案 2 3 4 5 1 2 在 1 x n n N 的二项展开式中 若只有x5的系数最大 则n等于A 8B 9C 10D 11 答案 解析 解析由题意知 1 x n的二项展开式中 x5的系数就是第6项的系数 因为只有x5的系数最大 所以n 10 2 3 4 5 1 3 观察图中的数所成的规律 则a所表示的数是A 8B 6C 4D 2 答案 解析 解析由题图知 下一行的数是其肩上两数的和 所以4 a 10 得a 6 解析令x 1 得a0 a1 a2 a3 a4 1 又Tr 1 2x 4 r 1 r3r 当r 0时 x4的系数a4 16 由 得a0 a1 a2 a3 15 2 3 4 5 1 4 设 2x 3 4 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 则a0 a1 a2 a3的值为 解析 答案 15 解二项展开式系数的最小值应在各负项中确定 由题意知第4项和第6项系数相等且最小 分别为T4 x 3 56x3 T6 x 5 56x5 5 已知 1 x 8的展开式 求 1 二项式系数最大的项 解答 解因为 1 x 8的幂指数8是偶数 所以由二项式系数的性质知 中间一项 即第5项 的二项式系数最大 该项为T5 x 4 70 x4 2 3 4 5 1 2 系数最小的项 规律与方法 1 二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出 2 求展开式中的系