一次函数复习课

在一个变化过程中 如果有两个变量x与y 并且对于x的每一个确定的值 y都有唯一确定的值与其对应 那么我们就说x是自变量 y是x的函数 一 函数的概念 二 函数有几种表示方式 思考 下面 个图形中 哪个图象是y关于x的函数 图 图 1 一辆客车从杭州出发开往上海 设客车出发t小时后与上海的距离为s千米 下列图象能大致反映s与t之间的函数关系的是 A B C D A 练习 2 小明骑自行车上学 开始以正常速度匀速行驶 但行至中途自行车出了故障 只好停下来修车 车修好后 因怕耽误上课 他比修车前加快了骑车速度匀速行驶 下面是行驶路程s 米 关于时间t 分 的函数图像 那么符合这个同学行驶情况的图像大致是 ABCD C 求出下列函数中自变量的取值范围 三 自变量的取值范围 分式的分母不为0 被开方数 式 为非负数 与实际问题有关系的 应使实际问题有意义 0 25 1 2 25 4 6 25 9 1 列表 2 描点 3 连线 四 画函数的图象 s x2 x 0 1 下列函数中 哪些是一次函数 m 2 答 1 是 2 不是 3 是 4 不是 练习 k 0 图象过一 三象限和原点 k 0 b 0 b 0 图象过一 二 三象限 b 0 图象过一 三 四象限 b 0 图象过二 四象限和原点 b 0 图象过一 二 四象限 b 0 图象过二 三 四象限 y随x的增大而增大 y随x的增大而减少 六 一次函数与正比例函数的图象与性质 一次函数的增减性 对于一次函数y kx b k 0 有 当k 0时 y随x的增大而 当k 0时 y随x的增大而 增大 减小 1 填空题 有下列函数 其中过原点的直线是 函数y随x的增大而增大的是 函数y随x的增大而减小的是 图象在第一 二 三象限的是 练习 2 根据下列一次函数y kx b k 0 的草图回答出各图中k b的符号 k 0 b 0k 0 b 0k 0 b 0k 0 b 0 3 直线y kx b经过一 二 四象限 则K0 b0 此时 直线y bx k的图象只能是 D 4 设点P 0 m Q n 2 都在函数y x b的图象上 求m n的值 5 y x 2与x轴交点坐标 y轴交点坐标 0 2 2 0 6 已知一次函数y m 2 x m 3 当m分别取什么值时 1 y随x值的增大而减小 2 图象过原点 3 图象与y轴的交点x在轴的下方 4 图象不经过第二象限 解 根据题意 得 y随x值的增大而减小 m 2 0 m 2 3 图象与y轴的交点在x轴的下方 m 3 0 m 3 4 图象不经过第二象限 怎样画一次函数y kx b的图象 1 两点法 y x 1 2 平移法 七 求函数解析式的方法 先设出函数解析式 再根据条件确定解析式中未知的系数 从而具体写出这个式子的方法 待定系数法 例1 如图 直线a是一次函数y kx b的图象 求其解析式 点评 求一次函数y kx b的解析式 可由已知条件给出的两对x y的值 列出关于k b的二元一次方程组 由此求出k b的值 就可以得到所求的一次函数的解析式 y 解 由图象知直线过 2 0 0 1 两点把两点的坐标分别代入y kx b 得 2k b 0b 1解得 k 0 5 b 1 其函数解析式为y 0 5x 1 例2 已知y与x 1成正比例 x 8时 y 6 写出y与x之间函数关系式 并分别求出x 4时y的值和y 3时x的值 解 由y与x 1成正比例可设y k x 1 当x 8时 y 6 7k 6 y与x之间函数关系式是 例3 若函数y kx b的图象平行于y 2x的图象且经过点 0 4 则直线y kx b与两坐标轴围成的三角形的面积是 解 y kx b图象与y 2x图象平行 k 2 图像经过点 0 4 b 4 此函数的解析式为y 2x 4 函数y 2x 4与两坐标轴的交点为 0 4 和 2 0 1 已知直线y kx b平行与直线y 2x 且与y轴交于点 则k b 此时 直线y kx b可以由直线y 2x经过怎样平移得到 2 2 练习 2 若一次函数y x b的图象过点A 1 1 则b 3 根据如图所示的条件 求直线的表达式 2 沿y轴向下平移2个单位 y 2x 4 柴油机在工作时油箱中的余油量Q 千克 与工作时间t 小时 成一次函数关系 当工作开始时油箱中有油40千克 工作3 5小时后 油箱中余油22 5千克 1 写出余油量Q与时间t的函数关系式 解 设所求函数关系式为 kt b 把t 0 Q 40 t 3 5 Q 22 5分别代入上式 得 解得 解析式为 Q t 40 0 t 8 4 柴油机在工作时油箱中的余油量Q 千克 与工作时间t 小时 成一次函数关系 当工作开始时油箱中有油40千克 工作3 5小时后 油箱中余油22 5千克 1 写出余油量Q与时间t的函数关系式 取t 0 得Q 40 取t 得Q 描出点 40 B 8 0 然后连成线段AB即是所求的图形 注意 1 求出函数关系式时 必须找出自变量的取值范围 2 画函数图象时 应根据函数自变量的取值范围来确定图象的范围 图象是包括两端点的线段 A B 2 画出这个函数的图象 Q t 40 0 t 8 5 某医药研究所开发了一种新药 在实际验药时发现 如果成人按规定剂量服用 那么每毫升血液中含药量y 毫克 随时间x 时 的变化情况如图所示 当成年人按规定剂量服药后 1 服药后 时 血液中含药量最高 达到每毫升 毫克 接着逐步衰弱 2 服药5时 血液中含药量为每毫升 毫克 3 当x 2时y与x之间的函数关系式是 4 当x 2时y与x之间的函数关系式是 5 如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时 治疗疾病最有效 那么这个有效时间是 时 y 3x y x 8 4 1 在一次蜡烛燃烧实验中 甲 乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y cm 与燃烧时间x h 之间的关系如图所示 挑战自我 1 甲 乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 从点燃到燃尽所用的时间分别是 30cm 25cm 2h 2 5h 2 当x 时 甲 乙两根蜡烛在燃烧过程中的高度相等 当x时 1h 甲蜡烛比乙蜡烛高 当x时 甲蜡烛比乙蜡烛低 0 x 1 1 x 2 5 3 如图 表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km过程中 行驶的路程y与经过的时间x之间的函数关系 请根据图象填空 出发的早 早了小时 先到达 先到小时 电动自行车的速度为km h 汽车的速度为km h 电动自行车 2 汽车 2 18 90 2 函数的图像与x轴交点A的坐标为 与y轴交点B的坐标为 AOB的面积为 0 4 6 0 12 第3题图 1 l1对应的表达是 l2对应的表达式是 2 当销售量为2吨时 销售收入 元 销售成本 元 3 当销售量为6吨时 销售收入 元 销售成本 元 4 当销售量等于吨时 销售收入等于销售成本 5 当销售量吨时 该公司盈利 收入大于成本 当销售吨时 该公司亏损 收入小于成本 4 如图所示l1反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系 l2反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系 根据图意填空 Y 500 x 2000 Y 1000 x 2000 3000 4 大于4 小于4 6000 5000 5 小聪上午8 00从家里出发 骑车去一家超市购物 然后从这家超市返回家中 小聪离家的路程s km 和所经过的时间t 分 之间的函数关系如图所示 请根据图象回答下列问题 1 小聪去超市途中的速度是多少 回家途中的速度是多少 0 2 小聪在超市逗留了多少时间 3 用恰当的方式表示路程s与时间t之间的关系 4 小聪在来去途中 离家1km处的时间是几时几分 考点分析考点一 一次函数与正比例函数的定义 考点二 一次函数的图象和性质 考点三 用待定系数法求解一次函数的解析式 考点四 平移与平行的条件 考点五 求两条直线的交点坐标 考点六 一次函数与一元一次不等式的关系 考点七 求一次函数交点问题及面积问题 考点六 求两条直线的交点坐标 求函数y 2x 1与函数y 0 5x 1交点的坐标为 解析 求两条直线交点的坐标 只需将两条直线解析式构成一个方程组 解得方程组的解即为直线交点坐标 解得 0 8 0 6 练习 直线y 3 x与直线y 3x 5的交点坐标是 2 1 小结 一条直线找函数值的大小时 以直线与x轴的交点为分界线 直线在x轴上方的函数值y 0 在x轴下方的函数值y 左边的x 小结 两条直线找函数值的大小 以交点为分界线 上边的函数比下边的函数值大 交点右边的x 左边的x 考点七 一次函数与一元一次不等式的关系 练一练 1 如图 一次函数解析式y ax b的图象经过A B两点 则关于x的不等式ax b 0的解集是 第1题 2 如图 一次函数y kx b的图象经过点A B 则关于x的不等式kx b 0的解集是 X 2 X 2 X 1 例1 求直线AB与坐标轴的交点 求 ABO的面积 求直线AB与坐标轴围成三角形的面积 考点八 求一次函数交点问题及面积问题 1 6 2 4 y1 2x 4 达标检测求直线y1 2x 4与直线y2 x 2交于点E 且直线y2 x 2与x轴交于点F 求两条直线和x轴围成图形的面积 y1 2x 4 y2 x 2 反馈测试 1 下列函数中 不是一次函数的是 2 如图 正比例函数图像经过点A 该函数解析式是 3 一次函数y x 2的图像不经过第 象限 A C 四 4 一次函数y1 kx b与y2 x a的图像如图所示 则下列结论 1 k0 3 当x 3时 y1 y2中 正确的有 个 1 5 如图 已知一次函数y kx b的图像 当x 0时 y的取值范围是 y 4 6 如图 已知直线经过点A 1 0 与点B 2 3 另一条直线经过点B 且与x轴交于点P 1 求直线的解析式 2 若 APB的面积为3 求m的值 一次函数与一次方程 组 不等式的关系 根据图 1 填空 方程2x 4 0的解为 不等式2x 4 0的解集为 不等式2x 4 0的解集为 X 2 X 2 X 2 根据图 2 填空 方程组y 2x 4y x 2不等式2x 4 x 2的解集为 的解为 X 2 3 X 4 3 x 2 3 4 3 一次函数的应用 一 一次函数与方案设计例 某游泳馆普通票价是20元 张 暑假为了促销 新推出两种优惠卡 金卡售价600元 张 每次凭卡不再收费 银卡售价150元 张 每次凭卡另收10元 暑假普通票正常出售 两种优惠卡仅限暑期使用 不限次数 设游泳x次时 所需费用为y元 1 分别写出选择银卡 普通票消费时y与x之间的函数关系式 2 在同一坐标系中 三种消费方式对应的函数图像如图所示 请求出A B C三点的坐标 3 根据图像直接写出那种消费方式更合算 0 B A D C 1 在函数 1 y 2 y x 5 3 y 4x 4 y 2x 3x 5 y x 2 6 y 中是一次函数的是 是正比例函数的是 3x 1x 2 2 2 3 3 练一练 2 若函数y 6 3m x 4n 4是一次函数 则m n应该满足的条件是 若是正比例函数 则m n应该满足是 m 2 n为任意实数 m 2 n 1 3 3 当k 时 函数y k 3 x 5是关于x的一次函数 写出下列各题中y与x之间的关系式 并判断 y是否为x的一次函数 是否为正比例函数 1 汽车以60km h的速度匀速行驶 行驶路程为y km 与行驶时间x h 之间的关系 解 由路程 速度 时间 得y 60 x y是x的一次函数 也是x的正比例函数 解 由圆的面积公式 得y x2 y不是x的正比例函数 也不是x的一次函数 2 圆的面积y cm2 与它的半径x cm 之间的关系 3 一棵树现在高50cm 每个月长高2cm x月后这棵树的高度为ycm 解 这棵树每月长高2cm x个月长高了2xcm 因而y 50 2x y是x的一次函数 但不是x的正比例函数 某地区电话的月租费为25元 在此基础上 可免费打50次市话 每次3分钟 超过50次后 每次0 2元 1 写出每月电话费y 元 与通话次数x x 50 的函数关系式 解 1 根据题意 有y 25 x 50 0 2 即y 0 2x 15 试一试 2 求出月通话150次的电话费 2 当x 150时 y 0 2 150 15 45 3 如果某月通话费为53 6元 求该月通话的次数 3 因为53 6 25 可知通话次数大于50次 即当y 53 6时 53 6 0 2x 15 解得x 193 下列语句中 具有正比例函数关系的是 A 长方形花坛的面积不变 长y与宽x之间的关系 B 正方形的周长不变 边长x与面积S之间的关系 C 三角形的一条边不变 这条边上的高h