高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2 抛物线的简单性质（二）课件 北师大版选修1-1

第二章 2抛物线 2 2抛物线的简单性质 二 学习目标1 掌握抛物线的几何特性 2 学会解决直线与抛物线相关的综合问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点直线与抛物线的位置关系 思考1 直线与抛物线有哪几种位置关系 三种 相离 相切 相交 答案 思考2 若直线与抛物线只有一个交点 直线与抛物线一定相切吗 不一定 当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时 也只有一个交点 答案 梳理 直线与抛物线的位置关系与公共点个数 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 的交点个数决定于关于x的方程k2x2 2 kb p x b2 0的解的个数 当k 0时 若 0 则直线与抛物线有个不同的公共点 当 0时 直线与抛物线有个公共点 当 0时 直线与抛物线公共点 当k 0时 直线与抛物线的对称轴 此时直线与抛物线有个公共点 两 一 没有 平行或重合 一 题型探究 类型一直线与抛物线的位置关系 例1已知直线l y k x 1 与抛物线C y2 4x 问 k为何值时 直线l与抛物线C有两个交点 一个交点 无交点 解答 消去y得k2x2 2k2 4 x k2 0 2k2 4 2 4k4 16 1 k2 1 若直线与抛物线有两个交点 则k2 0且 0 即k2 0且16 1 k2 0 解得k 1 0 0 1 所以当k 1 0 0 1 时 直线l和抛物线C有两个交点 2 若直线与抛物线有一个交点 则k2 0或当k2 0时 0 解得k 0或k 1 所以当k 0或k 1时 直线l和抛物线C有一个交点 3 若直线与抛物线无交点 则k2 0且 1或k1或k 1时 直线l和抛物线C无交点 直线与抛物线交点的个数 等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数 注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况 反思与感悟 跟踪训练1设抛物线y2 8x的准线与x轴交于点Q 若过点Q的直线l与抛物线有公共点 则直线l斜率的取值范围是A B 2 2 C 1 1 D 4 4 答案 解析 准线方程为x 2 Q 2 0 设l y k x 2 当k 0时 x 0 即交点为 0 0 当k 0时 由 0 得 1 k 0或0 k 1 综上 k的取值范围是 1 1 得k2x2 4 k2 2 x 4k2 0 类型二弦长与中点弦问题 例2已知抛物线y2 6x 过点P 4 1 引一条弦P1P2使它恰好被点P平分 求这条弦所在的直线方程及 P1P2 解答 方法一由题意易知直线方程的斜率存在 得ky2 6y 24k 6 0 当k 0时 62 4k 24k 6 0 设弦的两端点P1 x1 y1 P2 x2 y2 P1P2的中点为 4 1 所求直线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 y1 y2 2 y1 y2 22 方法二设P1 x1 y1 P2 x2 y2 所求直线的斜率k 3 故所求直线方程为y 1 3 x 4 即3x y 11 0 y1 y2 2 y1y2 22 反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法 解答 1 求C2的方程 由C1方程可知F 0 1 F也是椭圆C2的一个焦点 a2 b2 1 又 a2 b2 1 a2 9 b2 8 2 若 AC BD 求直线l的斜率 解答 如图 设A x1 y1 B x2 y2 C x3 y3 D x4 y4 x1 x2 2 4x1x2 x3 x4 2 4x3x4 设直线l的斜率为k 则l的方程 y kx 1 由根与系数的关系可得x1 x2 4k x1x2 4 由根与系数的关系可得 又 x1 x2 2 4x1x2 x3 x4 2 4x3x4 类型三抛物线中的定点 定值 问题 例3在平面直角坐标系xOy中 直线l与抛物线y2 4x相交于不同的A B两点 解答 由题意知 抛物线的焦点为 1 0 设l x ty 1 代入抛物线方程y2 4x 消去x 得y2 4ty 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4 ty1 1 ty2 1 y1y2 t2y1y2 t y1 y2 1 y1y2 4t2 4t2 1 4 3 解答 设l x ty b 代入抛物线y2 4x 消去x 得y2 4ty 4b 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4t y1y2 4b t2y1y2 bt y1 y2 b2 y1y2 4bt2 4bt2 b2 4b b2 4b 解得b 2 故直线过定点 2 0 在直线和抛物线的综合题中 经常遇到求定值 过定点问题 解决这类问题的方法很多 如斜率法 方程法 向量法 参数法等 解决这类问题的关键是代换和转化 反思与感悟 跟踪训练3如图 过抛物线y2 x上一点A 4 2 作倾斜角互补的两条直线AB AC交抛物线于B C两点 求证 直线BC的斜率是定值 证明 方法一设kAB k k 0 直线AB AC的倾斜角互补 kAC k k 0 即直线AB的方程是y k x 4 2 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 A 4 2 B xB yB 是上述方程组的解 直线BC的斜率为定值 由题意得kAB kAC 当堂训练 1 过点P 0 1 与抛物线y2 x有且只有一个交点的直线有A 4条B 3条C 2条D 1条 答案 解析 2 3 4 5 1 当斜率不存在时 过P 0 1 的直线是y轴 与抛物线y2 x只有一个公共点 当斜率存在时 设直线为y kx 1 得k2x2 2k 1 x 1 0 当k 0时 符合题意 当k 0时 令 2k 1 2 4k2 0 与抛物线只有一个交点的直线共有3条 2 3 4 5 1 答案 解析 3 已知抛物线C y2 8x的焦点为F 准线与x轴的交点为K 点A在C上且 AK AF 则 AFK的面积为A 4B 8C 16D 32 答案 解析 抛物线C y2 8x的焦点为F 2 0 准线为x 2 K 2 0 设A x0 y0 过A点向准线作垂线AB 垂足为B 则B 2 y0 又 AF AB x0 2 解得A 2 4 即8x0 x0 2 2 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 4 设O为坐标原点 F为抛物线y2 4x的焦点 A为抛物线上任意一点 若 4 则点A的坐标为 答案 解析 1 2 5 已知A B为抛物线E上不同的两点 若抛物线E的焦点为 1 0 线段AB恰被M 2 1 所平分 1 求抛物线E的方程 解答 2 3 4 5 1 2 求直线AB的方程 解答 2 3 4 5 1 设A x1 y1 B x2 y2 且x1 x2 4 y1 y2 2 由 得 y1 y2 y2 y1 4 x2 x1 所以所求直线AB的方程为y 1