高中数学 第三单元 导数及其应用 3_3_2 利用导数研究函数的极值（二）课件 新人教b版选修1-1

第三章 3 3导数的应用 3 3 2利用导数研究函数的极值 二 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点函数的最值 思考1 观察 a b 上函数y f x 的图象 试找出它的极大值 极小值 如图为y f x x a b 的图象 极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 答案 思考2 结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最小值 若存在 分别为多少 答案 存在 f x min f a f x max f x3 思考3 怎样确定函数f x 在 a b 上的最小值和最大值 答案 比较极值与区间端点的函数值 最大的是最大值 最小的是最小值 梳理 1 函数的最大 小 值的存在性假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条的曲线 该函数在 a b 一定能够取得最大值与最小值 2 求可导函数y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤如下 求f x 在开区间 a b 内所有 计算函数f x 在和处的函数值 其中最大的一个为 最小的一个为 连续不断 极值点 极值点 端点 最大值 最小值 题型探究 类型一求函数的最值 命题角度1不含参数的函数最值问题例1求下列函数的最值 1 f x 2x3 12x x 2 3 解答 f x 2x3 12x 当x 3时 f x 取得最大值18 解答 所以当x 0时 f x 有最小值f 0 0 当x 2 时 f x 有最大值f 2 求解函数在闭区间上的最值 需注意以下几点 1 对函数进行准确求导 并检验f x 0的根是否在给定区间内 2 研究函数的单调性 正确确定极值和端点函数值 3 比较极值与端点函数值的大小 确定最值 反思与感悟 跟踪训练1求函数f x ex 3 x2 x 2 5 的最值 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 在区间 2 5 上 f x ex x 3 x 1 0 函数f x 在区间 2 5 上单调递减 当x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 当x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e5 解答 命题角度2含参数的函数最值问题例2已知函数f x ex ax2 bx 1 其中a b R e 2 71828 为自然对数的底数 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 解答 f x ex 2ax b 则g x ex 2ax b g x ex 2a x 0 1 g x 在 0 1 上单调递增 故g x min g 0 1 b 当g x min g 0 1 2a0 当x x 0 1 变化时 g x g x 的变化情况如下表 g x min g ln2a eln2a 2aln2a b 2a 2aln2a b g x 在 0 1 上单调递减 g x min g 1 e 2a b 对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 反思与感悟 跟踪训练2已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 又当a 0时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为3x y 2 0 解答 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 解答 令f x 0 即3x2 2ax 0 从而f x max f 2 8 4a 从而f x max f 0 0 类型二由函数的最值求参数 例3已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值为 29 求a b的值 解答 由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0时 f x f x 的变化情况如下表 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也是函数f x 在 1 2 上的最大值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2 16a 3f 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分类讨论思想的应用 解答 f x x2 x 2a 当x x1 x2 时 f x 0 所以f x 在 x1 x2 上单调递减 在 x1 x2 上单调递增 当0 a 2时 有x1 1 x2 4 所以f x 在 1 4 上的最大值为f x2 类型三与最值有关的恒成立问题 例4设f x lnx g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 解答 由题设知f x 的定义域为 0 令g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调递增区间 因此x 1是g x 在 0 上的唯一极值点 且为极小值点 从而是最小值点 所以最小值为g 1 1 解答 即lna0成立 由 1 知 g x 的最小值为1 所以lna 1 解得0 a e 即a的取值范围为 0 e 反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练4已知函数f x x 1 lnx x 1 若xf x x2 ax 1恒成立 求a的取值范围 解答 所以xf x xlnx 1 所以xf x x2 ax 1 x 0 等价于lnx x a 当0 x 1时 g x 0 当x 1时 g x 0 所以x 1是g x 的极大值点也为最大值点 所以g x g 1 1 所以a g x max 1 当堂训练 1 2 3 4 5 1 函数f x x3 3x x 1 A 有最大值 但无最小值B 有最大值 也有最小值C 无最大值 但有最小值D 既无最大值 也无最小值 答案 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上是单调递减函数 无最大值和最小值 故选D 1 2 3 4 5 所以y的最大值为ymax sin 故选C 解析 答案 1 2 3 4 5 f x 3ax2 f 1 3a 6 a 2 当x 1 2 时 f x 6x2 0 即f x 在 1 2 上是增函数 f x 在 1 2 上的最大值为f 2 2 23 c 20 c 4 3 已知函数f x ax3 c f 1 6 且函数f x 在 1 2 上的最大值为20 则c 答案 解析 4 1 2 3 4 5 f x 3x2 3a 令f x 0 可得a x2 a 0 又 函数在 0 1 上有最小值 答案 解析 1 2 3 4 5 e