高中数学 第一章 解三角形 1_1_1 正弦定理（二）课件 新人教b版必修5

第一章 解三角形 1 1正弦定理和余弦定理1 1 1正弦定理 二 学习目标 1 熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题 2 能根据条件 判断三角形解的个数 3 能利用正弦定理 三角变换 三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 1 在 ABC中 若 则A 90 2 在 ABC中 若sin2A sin2B 则a b 3 在 ABC中 若sinA sinB 则A B 反之 若A B 则sinA sinB 4 在 ABC中 解析对于 1 由正弦定理可知 sinB cosB sinC cosC B C 45 故A 90 故 1 正确 对于 2 由sin2A sin2B可得A B或2A 2B a b或a2 b2 c2 故 2 错误 对于 3 在 ABC中 sinA sinB a b A B 故 3 正确 对于 4 因为 所以 故 4 正确 答案 2 预习导引 1 正弦定理的常见变形 1 sinA sinB sinC 2 3 a b c 4 sinA sinB sinC 2RsinC a b c 2R 2RsinA 2RsinB 2 三角变换公式 1 sin 2 sin 3 sin2 sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 要点一利用正弦定理判断三角形的形状例1在 ABC中 若sinA 2sinBcosC 且sin2A sin2B sin2C 试判断 ABC的形状 解方法一在 ABC中 根据正弦定理 2R R为 ABC外接圆的半径 sin2A sin2B sin2C 2 2 2 即a2 b2 c2 A 90 B C 90 由sinA 2sinBcosC 得sin90 2sinBcos 90 B sin2B B是锐角 sinB B 45 C 45 ABC是等腰直角三角形 方法二在 ABC中 根据正弦定理 得sinA sinB sinC R为 ABC外接圆的半径 sin2A sin2B sin2C a2 b2 c2 ABC是直角三角形且A 90 A 180 B C sinA 2sinBcosC sin B C 2sinBcosC sinBcosC cosBsinC 0 即sin B C 0 B C 0 即B C ABC是等腰直角三角形 规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有以下两种途径 1 利用正弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 在两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 跟踪演练1在 ABC中 已知a2tanB b2tanA 试判断 ABC的形状 解在 ABC中 由正弦定理得 又 a2tanB b2tanA sinAcosA sinBcosB 即sin2A sin2B 2A 2B或2A 2B 即A B或A B ABC为等腰三角形或直角三角形 要点二利用正弦定理求最值或范围例2在锐角 ABC中 角A B C分别对应边a b c 且a 2bsinA 求cosA sinC的取值范围 解设R为 ABC外接圆的半径 a 2bsinA 2RsinA 4RsinBsinA sinB B为锐角 B 令y cosA sinC cosA sin B A cosA sin A cosA sincosA cossinA 规律方法在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法 1 利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量 2 将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数 三角函数 从而转化为函数的值域或最值问题 跟踪演练2在 ABC中 若C 2B 求的取值范围 解因为A B C C 2B 所以A 3B 0 所以0 B 所以 cosB 1 所以1 2cosB 2 故1 2 要点三正弦定理与三角变换的综合应用例3已知 ABC的三个内角A B C的对边分别为a b c 若a c 2b 且2cos2B 8cosB 5 0 求角B的大小 并判断 ABC的形状 解 2cos2B 8cosB 5 0 2 2cos2B 1 8cosB 5 0 4cos2B 8cosB 3 0 即 2cosB 1 2cosB 3 0 解得cosB 或cosB 舍去 0 B B a c 2b 由正弦定理得sinA sinC 2sinB 2sin 化简得sinA cosA sin A 1 0 A A A C 即A B C ABC是等边三角形 规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化 在转化为角的关系后 常常利用三角变换公式进行化简 从而进行三角形形状的判断 三角恒等式的证明 跟踪演练3已知方程x2 bcosA x acosB 0的两根之积等于两根之和 且a b为 ABC的两边 A B为两内角 试判断这个三角形的形状 解设方程的两根为x1 x2 由根与系数的关系得 bcosA acosB 由正弦定理得2RsinBcosA 2RsinAcosB R为 ABC外接圆的半径 sinAcosB cosAsinB 0 sin A B 0 A B为 ABC的内角 0 A 0 B A B A B 0 即A B 故 ABC为等腰三角形 1 在 ABC中 AC BC 2 B 60 则角C的值为 A 45 B 30 C 75 D 90 解析由正弦定理 得 BC 2 AC A为锐角 A 45 C 75 C 1 2 3 4 2 在 ABC中 若 则 ABC是 A 直角三角形B 等边三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形解析由正弦定理知 tanA tanB tanC A B C B 1 2 3 4 3 在 ABC中 0 1 2 3 4 4 在 ABC中 a 2 b 6 A 30 判断三角形是否有解 若有解 解该三角形 1 2 3 4 解a 2 b 6 a b A 30 90 又因为bsinA 6sin30 3 a bsinA 所以本题有两解 由正弦定理得 sinB 故B 60 或120 当B 60 时 C 90 c 4 当B 120 时 C 30 c a 2 所以B 60 C 90 c 4或B 120 C 30 c 2 1 2 3 4 课堂小结1 已知两边和其中一边的对角 求第三边和其他两个角 这时三角形解的情况可能无解 也可能一解或两解 首先求出另一边的对角的