3.1同底数幂的乘法（1）.doc

3.1同底数幂的乘法(1)教学目标：1、经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，发展符号感和推理意识2、能用符号语言和文字语言表述同底数幂乘法的运算性质，会根据性质计算同底数幂的乘法教学重点与难点：重点是同底数幂的乘法法则及其探索难点是同底数幂的乘法法则的发现与推导教法与学法指导：教法：运用让学生自主探求的方法，帮助学生在学习的过程中理解、掌握新知识，提高他们的自学能力和解决实际问题的能力学法：引导学生主动探索，发现问题；互动合作，解决问题；归纳概括，形成能力课前准备：多媒体课件教学过程：1、 数字游戏、提出问题师：亲爱的同学们，现在有2、3、5 三个数字，请你任意选择其中的两个数字并用运算符号连接成一个式子，你能找出运算结果最大的式子吗？（学生积极发言）生1：35。生2：还有更大的，53。生3：35比53还大呢，应该是35。师：在小学的时候这个题目的答案应该就是35了，可是在上学期我们学习了有理数的乘方，很显然35、53都比15大，哪位同学能说说什么样的运算叫做乘方？乘方的结果叫做什么？意义是什么，举例说明生4：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂a叫底数，n叫指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)（教师板书：）生5：幂的意义：an表示n个相同因数a的积，如：53表示三个5相乘的积设计意图：起点低，易于抓住学生同时复习了底数、指数、幂的含义.为新知识的学习作了有效的铺垫.（多媒体展示浩瀚星空的图片）师：我们生活的星球只是瀚瀚宇宙中的一份子，人们一直没放弃对宇宙的探索，我们一起欣赏一些美丽的图片。（多媒体展示浩瀚星空的图片） 宇宙中的很多星体距离我们是非常遥远的，以太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星为例，它发出的光到达地球大约需要4.22年。一年以3107s秒计算，我们知道光在真空中的速度大约是3108m/s，请同学们算一下比邻星与地球的距离约为多少？师：谁能告诉大家，这个问题怎样解答？生6：（轻松地）310831074.22师：很好，算式经过整理后我们可以得到310831074.2237.98108107，（教师板书）同学们观察一下后两个乘数有什么特点？（短时间的思考后，大部分同学举手）生7：都是幂的形式生8：底数相同师：同学们观察的很仔细，在日常的生活实践和一些数学计算中，我们经常会遇到这样的问题上谁能快速计算同108107结果等于多少？（学生茫然，然后摇摇头，片刻后）生9：（站起来）108是（稍顿）1亿，107是（稍顿）一千万，然后把这两个数乘起来就是（自言自语）不过，这样做也太繁琐了（众笑）生10：老师，有没有简便的方法？师：问得好？简便方法是有的这节课我们就来研究这个问题同底数幂的乘法（师书课题：3.1同底数幂的乘法(1)）设计意图：以有趣的天文知识为引例，培养学生的学习兴趣，让学生从中抽象出简单的数学模型，实际在列式计算时遇到了同底数幂相乘的形式，引发学生的认知冲突，激发学生的求知欲，为新课的学习做好情感铺垫，引入课题二、师生合作，展示交流师：刚才同学们也发现了108107就是两个同底数幂的乘积，下列各式哪些也是同底数幂的乘法？生：1、2、5是。生：第六个也是，他们的底数都是（a-b）.师：说得好，同底数幂，底数也可以是多项式。知道了什么是同底数幂的乘法，下面我们就来探究一下如何计算呢？108107可以怎么理解，同学们说一下。（学生思考回答）生：因为108表示8个10相乘，107表示7个10相乘，那么108107就表示15个10相乘，所以结果应该是1015。师：很好，这位同学利用幂的意义解决了这个问题，仿照刚才的思路，算一次下面几个式子的结果。（1）102103；（2）105108（3）10m10n（m，n都是正整数）生：（1）的结果是105，（2）的结果是1013，（3）的结果是10m+n（教师利用多媒体展示学生的推理过程）102103=（1010）（101010）105 105108（1010101010）（1010101010101010）1013 10m10n 10m+n师：依据上面的做题经验，2m2n等于什么？和（3）m(-3)n呢？（m，n都是正整数）生： 2m2n2m+n，（3）m(-3)n（3）m+n（教师板书）师：回答的很好那么同学们观察上面的这几个算式，能得出什么结论？（学生稍作沉思后）生12：两个底数相同的幂相乘，结果的底数没变，只不过把它们的指数相加生13：两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加（同学们表示赞同，并认为第二种说法简练）（师书：两个同底数的幂相乘，底数不变，指数相加）师：（怀疑的态度）这个结论一定正确吗？生众：（齐说）一定正确师：很难说（全体同学一愣，愕然）师：我们来看这个结论是怎样得出的？（稍顿）以上运算是依据几个个特殊的式子得出来的：在102103、105108中，幂的底数、指数都是具体的数；在式子10m10n、2m2n、和（3）m(-3)n中，幂的指数换成了字母，但底数仍是具体数在数学中，对于这样由特殊例子而得出的结论，是不一定正确的，它不能代表一般的规律所以结论正确与否，还很难说那么，对于一般的情况，这个结论是成立还是不成立呢？这需要我们进行严密的论证下面请同学们分小组研究，这个结论是否适用于所有的同底数幂相乘？并说明理由（学生分小组进行研讨探索，气氛热烈，教师巡视经过充分讨论后，小组开始派代表发言全体同学都认为结论是正确的，一个学生将论证的方法写到了黑板上）：生：（板演）师：你能给大家解释一下每一步的依据吗？生：第一步依据幂的意义，第二步依据乘方运算。师：这就是我们要研究的同底数幂相乘的法则，以后可以直接用它来解决问题（教师板书法则的字母表示：aman= am+n）师：通过刚才猜想验证，我们得出了两个同底数幂相乘的法则那么法则中的a、m、n可以是任意数吗？哪一个学生能解决这个问题？生：（不假思索）可以是任意有理数，因为我们在上学期就学过字母可以表示任意有理数生：我有不同意这种说法，我认为a表示底数，可以是任意数，面m、n表示的是指数，所以只能是正整数（同学们同意第二种观点师书：m、n都是正整数）师：这里的m、n规定都是正整数，不过，随着以后学习的深入，m、n的取值范围会逐步扩大同学们还有什么疑惑吗？设计意图：探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用独立思考，使学生初步理解“特殊一般”的认知规律和辨证唯物主义思想，体味科学思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新精神和欲望学生通过相互之间的合作，归纳出法则，发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力师：同学们，法则中说的是两个同底数幂相乘，那么三个或三个以上的同底数幂相乘怎样运算？生：（迅速站起来）我认为也是底数不变，指数相加师：为什么？生：（不好意思地）我还没考虑好师：那么，同学们思考一下，我们推出的两个同底数幂相乘的法则能否适用于三个或三个以上的同底数幂相乘？为什么？（同学们认真推导，教师巡视，一生推导完要求回答）生：（板演）：生：我还有一种解法（板书）：amanap=（ aman ）ap =am+nap=am+n+p（同学们都同意这两个同学的论证方法）师：同学们推导得非常好，可见同底数幂的乘法法则可以推广到三个或三个以上的同底数幂相乘（师将板书法则中的“两个”擦去）设计意图：本环节主要是让学生通过自己的问疑、释疑，使法则得到了完善、推广，解决了心中的疑惑进一步理解法则三、应用法则，加深理解师：同学们通过自己的感悟与探索得出了同底数幂相乘的法则，那么大家能不能用法则来解决问题呢？先看看我们开始提出的问题，（出示并问）：“这个星球的距离大约是多少？”生：（积极的站起来）计算108107等于1015，所以距离应是37.981015米师：回答的非常好，但是结果的书写规范吗？生：不规范，应符合科学计数法的要求写为：3.7981016米师：非常正确，这里还有几个问题，大家看怎么解答？例1计算：（1）（-3）7（-3）6； （2）（）3 ；（3）-x3 x5； （4）b2m b2m+1.（先让4名学生上黑板板演，然后让学生纠错，其余学生先独立完成，然后小组互相检查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题教师最后强调书写要规范，如：当底数为负数或分数时一定要加括号，并且第（1）小题的结果也可以写为313）例2 光在真空中的速度约为3108m/s，太阳光照射到地球大约需要5102s. 地球距离太阳大约有多远？（学生认真读题，充分思考分析，独立完成步骤书写，一名学生进行板演，其余学生先独立完成，然后同桌互相检查，核对过程与结果，教师巡视，及时发现学生在解题过程中出现的问题学生完成后教师进行点评强调结果的书写要符合科学计数法）解：31085102 =151010 =1.51011(m)地球距离太阳大约有1.51011m.设计意图：以教材中例题为落脚点，让学生学会判别、应用所学字母表达式，以达到巩固新知的作用利用同底数幂的乘法运算性质解决实际问题，让学生感受大数，发展数感.提高对问题的分析、解决能力，使自己在不知不觉中进步.例2旨在让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，养成学会分析问题、解决问题的良好习惯四、变式训练，巩固提高1口答：（1）x2x5 （2）b5b （3）323n2下面是某学生所做的四个题目，另一个同学说做错了，而他说没错，请评判一下谁说得对（1）x5+x5= x10 （2）xmxm=2xm（3）aa3a5=a0+3+5 =a8 （4）-a2(-a4) (-a)3=(-a) 2+4+33计算：（1）232425 （2）x3xm-1 （3）ym-1ym+1y （4） （5）a3a3+a2a44已知ax=2，ay=3（x、y均为正整数）求ax+y的值师：刚才的问题都是老师出示给同学们的，大家解答得好极了那么，同学们能不能自己也编几道题运用同底数幂简洁法则的问题，让大家做一做（学生在下面积极编题，教师巡视，几个学生把自己编的题目写到黑板上，全体同学进行解答订正然后同桌之间将所出问题交换解答，学生积极性非常高）设计意图：通过练习运用同底数幂的乘法性质解决一些实际问题，让学生进一步巩固同底数幂的乘法法则. 扎扎实实的落实了字母表达式，让学生对本节主要知识有了清醒的认识其中第4小题是对法则的逆运用，加深对同底数幂的乘法运算性质的理解，同时要求学生活学活用，发展学生的逆向思维.五、归纳小结，升华认知师：哪一个同学能谈谈这节课有什么收获？（学生沉思片刻后，踊跃举手发言，陈述了以下几点）：学习了“同底数幂相乘法则”，并进行了应用在得出法则的过程中，我们运用了从特殊猜想到一般的方法；学习中，可以将未知知识转化为已知知识进行解决设计意图：学生畅谈自己学习所得的新知识与个人切身体会，教师予以鼓励，激发学生的学习兴趣与自信心，特别是课上这种由特殊到一般的知识推导方式，更是学数学应掌握的必要方法六、达标检测，反馈矫正A层：1填空题（1）a（ ）a4=a20（2）若10210m=102013，则m= 2计算：（1）yy2y3 （2）ymym+1（3）ym-1ym+1y （4）B层：3某种计算机每秒钟可以进行4107次运算，那么这台计算机5102秒可以进行多少次运算？4若am=2，an=5，求am+n的值设计意图：达标检测一方面旨在知识的巩固与深化，通过以上习题使学生能根据具体问题，学会举一反三,利用同底数幂的乘法运算性质进行运算.另一方面，教师可以及时的了解学生对新知识的掌握情况，为下一步的教学做好准备七、布置作业，巩固深化必做题：作业本3.1同底数幂的乘法(1)设计意图：复习巩固检测本节知识训练提高运算技能和解决问题的能力分为必做题与选做题，让不同的学生得到不同的发展，体会到不一样的成功板书设计:3.1同底数幂的乘法(1)aman=am+n（m、n都是正整数），即同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.例1 计算：例2 巩固训练：教学反思：本节课最大的特点是让学生通过自主探索而获取知识、发展能力充分体现了学生自主探索的精神，学生在和谐民主的气氛中，得到了自身素质的提高课