高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 4_2 圆锥曲线的共同特征课件 北师大版选修2-1

第三章 4曲线与方程 4 2圆锥曲线的共同特征 学习目标1 理解椭圆 双曲线的第二定义 2 了解圆锥曲线的共同特征 3 会用圆锥曲线的统一定义解决问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一椭圆的第二定义 椭圆是如何定义的 第一定义 我们把平面内到两个定点F1 F2的距离之和等于常数 大于 F1F2 的点的集合叫作椭圆 这两个定点F1 F2叫作椭圆的焦点 两个焦点F1 F2间的距离叫作椭圆的焦距 答案 梳理 右准线 离心率e 2 两点说明 在上述定义中 只有当0 e 1时才表示椭圆 知识点二双曲线的第二定义 思考 双曲线的第一定义是什么 我们把平面内到两定点F1 F2的距离之差的绝对值等于常数 大于零且小于 F1F2 的点的集合叫作双曲线 定点F1 F2叫作双曲线的焦点 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 双曲线定义中的 常数 常用2a a 0 表示 焦距常用2c c 0 表示 答案 梳理 1 双曲线的第二定义内容 知识点三圆锥曲线的共同特征 统一定义 圆锥曲线上的点M到一个定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比为定值e 当0 e 1时 圆锥曲线是 当e 1时 圆锥曲线是 当e 1时 圆锥曲线是 此即为圆锥曲线的统一定义 椭圆 抛物线 双曲线 题型探究 类型一由圆锥曲线的共同特征确定曲线的形状及方程 例1方程 x y 2 表示的曲线是A 椭圆B 双曲线C 抛物线D 不能确定 答案 解析 它表示点 x y 到点 1 1 的距离等于点 x y 到直线x y 2 0的距离 且点 1 1 不在直线x y 2 0上 故该方程表示的曲线是抛物线 在圆锥曲线的共同特征中 曲线上的点到定点的距离与它到定直线的距离之比是一常数 这本身就是一个几何关系 由此求曲线方程时 直接进行坐标的代换即可求出曲线的方程 可以根据常数的大小 与1比较 来判断所求轨迹是什么曲线 反思与感悟 解答 方法二由椭圆的第二定义可知点M的轨迹是椭圆 类型二依据圆锥曲线的性质求其方程 例2根据下列条件分别求椭圆的标准方程 解答 因为椭圆的一条准线为直线x 5 所以椭圆的焦点在x轴上 解答 圆锥曲线的准线方程是圆锥曲线的一个几何性质 已知准线方程可得a c之间的一个关系式 结合其他已知条件可求出圆锥曲线的标准方程 反思与感悟 跟踪训练2已知双曲线的渐近线方程为3x 4y 0 一条准线的方程为5y 3 0 求此双曲线的方程 解答 类型三椭圆 双曲线的第二定义及应用 答案 解析 设P x0 y0 则 PF a ex0 又点F在线段AP的垂直平分线上 椭圆 双曲线 上的任一点和焦点所连线段的长称为焦半径 1 椭圆的焦半径公式当椭圆的焦点在x轴上时 设F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 P x0 y0 是椭圆上任一点 则 PF1 a ex0 PF2 a ex0 反思与感悟 同理 得 PF2 a ex0 简记为 左 右 同理可知 当椭圆的焦点在y轴上时 焦半径公式为 PF1 a ey0 PF2 a ey0 F1为下焦点 F2为上焦点 综上可知 过焦点的弦的弦长仅与焦点弦中点的横坐标有关 2 双曲线的焦半径公式对于双曲线 1 a 0 b 0 F1为左焦点 F2为右焦点 若点P x1 y1 在左支上 则 PF1 a ex1 PF2 a ex1 若点P x1 y1 在右支上 则 PF1 a ex1 PF2 a ex1 对于双曲线 1 a 0 b 0 F1为下焦点 F2为上焦点 若点P x1 y1 在下支上 则 PF1 a ey1 PF2 a ey1 若点P x1 y1 在上支上 则 PF1 a ey1 PF2 a ey1 跟踪训练3已知双曲线x2 3y2 3上一点P到左 右焦点的距离之比为1 2 求点P到右准线的距离 解答 设F1 F2分别为双曲线的左 右焦点 设点P到右准线的距离为d 即点P到右准线的距离为6 当堂训练 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 4 已知椭圆E的中心为坐标原点 离心率为 E的右焦点与抛物线C y2 8x的焦点重合 A B是C的准线与E的两个交点 则 AB 答案 解析 6 抛物线C y2 8x的焦点坐标为 2 0 准线方程为x 2 即椭圆的半焦距c 2 A B是C的准线x 2与E的两个交点 把x 2代入椭圆方程得y 3 所以 AB 6 2 3 4 5 1 解答 则a 10 c2 a2 b2 64 解得c 8 故点 8 0 是椭圆的右焦点 设点P到点 8 0 的距离为d 故点P到点 8 0 的距离为8 规律与方法 应用椭圆和双曲线的第二定义 解题时需要注意 到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 0 e 1或e 1 其中 定点 是指焦点 定直线 是指相应准线 一定要注意 左焦点对应左准线 右焦点对应右准线 椭圆 双曲线的定义从不同的角度反映了椭圆 双曲线的特征 解题时要灵活运用 一般地 如果遇到有动点到两定点距离的问题 应自然联想到椭圆 双曲线的第一定义 如果遇到有动点到