动-09动量矩方程.ppt

第十二章动量矩定理 TheoreticalMechanics 理论力学 动力学 12 1质点和质点系的动量矩 12 2动量矩定理 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 12 4刚体对轴的转动惯量 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 12 6刚体的平面运动微分方程 目录 F d A B 动量矩 矢量 又称为矢量矩矢 方向垂直于矢径r与动量mv所形成的平面 指向按右手法则确定 其大小为 质点动量矩 质点M的动量对于O点的矩 定义为质点对于O点的动量矩 即 面积 在国际单位制中 动量矩的单位是kg m2 s 1 12 1质点和质点系的动量矩 如果以矩心O为坐标原点 建立直角坐标系Oxyz 根据矢量积的定义 有 质点的动量对固定点的动量矩矢在通过该点的任一固定轴上的投影等于质点的动量对该固定轴的动量矩 动量矩的量纲是 12 1质点和质点系的动量矩 质点系动量矩 质点系中所有各质点的动量对于固定点O的动量矩矢之和称之为该质点系对O点的动量矩 投影形式 质点系对某固定点O的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩 对于平面问题 即质点始终在某平面内运动的情形 动量矩矢总是垂直于该平面 只需把它定义为代数量 并规定逆时针方向为正 顺时针方向为负 12 1质点和质点系的动量矩 质点动量矩定理 质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩 12 2动量矩定理 n个方程的矢量和 质系动量矩定理 设质点系内有n个质点 作用在第i个质点上的力有内力和外力 按质点的动量矩定理 有 i 1 2 n 质点系动量矩定理 质点系对于某固定点O的动量矩对时间的一阶导数 等于作用于质点系的外力对同一点的主矩 12 2动量矩定理 质系对于x y z轴的动量矩等于质系中各质点动量对于x y z轴动量矩的代数和 动量矩定理的投影形式 质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数 等于作用于质点系上的外力对该轴之矩的代数和 12 2动量矩定理 内力不能改变质系的动量矩 只有作用于质系的外力才能使质系的动量矩发生变化 在特殊情况下外力系对O点的主矩为零 则质系对O点的动量矩为一常矢量 即 常矢量 外力系对某轴力矩的代数和为零 则质系对该轴的动量矩为一常数 动量矩守恒 12 2动量矩定理 动量矩守恒 12 2动量矩定理 如质点在有心力F作用下的运动 如图 此时 所以 常 即的大小和方向不变 即质点动量矩守恒 方向不变 即质点在r与mv组成的平面内运动 且此平面在空间的方位不变 大小不变 即 常 得 常数 或 常数 为矢径在单位时间内扫过的面积 称为面积速度 所以在有心力作用下质点的面积速度不变 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 刚体对转动轴的动量矩等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积 设刚体在外力作用下绕轴转动 角速度 角加速度 令z轴与转轴重合 刚体对z轴的动量矩为 应用质系对z轴的动量矩方程 得 此式称为刚体绕定轴转动的微分方程 由于约束力对z轴的力矩为零 所以方程中只需考虑主动力的矩 1 外力矩Mz越大 刚体转动的角加速度也越大 当Mz 0时 角加速度 0 刚体作匀速转动或保持静止 2 在同样的外力矩作用下 刚体的转动惯量Jz越大 角加速度 越小 Jz反映了刚体保持其匀速转动状态能力的大小 转动惯量是刚体转动时的惯性度量 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 例12 3已知刚体的质量为m 质心到转轴O的距离OC a 刚体绕水平轴O作微幅摆动的周期为T 求刚体相对于转轴的转动惯量 解 建立刚体的转动微分方程式 以摆的平衡位置作为 角的起点 逆时针方向为正 作微幅摆动时 简化为 微分方程的通解为 其中及 由运动的初始条件确定 而振动的周期为 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 例12 4卷扬机的传动轮系如图 设轴I和 各自转动部分对其轴的转动惯量分别为I1和I2 轴I的齿轮C上受主动力矩M的作用 卷筒提升的重齿轮A B的节园半径为 两轮角加速度之比 卷筒半径为R 不计轴承摩擦及绳的质量 求重物的加速度 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 解 本题二根固定轴必须拆开 分别以两轴及与其固连的齿轮为研究对象 轴I除受主动力矩M和重力 轴承约束力外 还受有齿轮力Ft及Fn 现假设 1与M的方向相同如图 为使方程正负号简单 一般约定以的转向为正 于是轴I的转动方程为 再以轴 和重物W为研究对象 画出其受力图 按运动学关系画出 2 1反向 以 2转向为正 应用质点系的动量矩定理 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 式中有三个未知量 1 2和Ft 还需建立补充方程 由运动学 重物上升的加速度 联立解得 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 例12 5均质梁AB长l 重W 由铰链A和绳所支持 若突然剪断联结B点的软绳 求绳断前后铰链A的约束力的改变量 解 以梁为研究对象 绳未断以前是静力学问题 由静平衡方程可求出绳未断时 铰链A的约束力 绳断之后 梁AB将绕A点转动 绳断瞬时 0 应用转动方程 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 再应用质心运动定理求约束力 图示瞬时 质心C的加速度 于是 绳断前后 铰链A约束力的改变量为 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 例12 6阿特伍德机的滑轮质量为M 且均匀分布 半径为r 两重物系于绳的两端 质量分别为m1和m2 试求重物的加速度 解 以整体为研究对象 画受力图 设滑轮有逆时针方向的转动 角速度为 则滑轮对轴O的动量矩 两重物对轴O的动量矩分别为 系统对轴O的动量矩为上述三项动量矩之和 即 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 应用动量矩定理 重物的加速度 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 例12 7图中质量m1 5kg 半径r 30cm的均质圆盘 可绕铅直轴z转动 在圆盘中心用铰链D连接质量m2 4kg的均质细杆AB AB杆长为2r 可绕D转动 当AB杆在铅直位置时 圆盘的角速度为 试求杆转到水平位置碰到销钉C而相对静止时 圆盘的角速度 解 以圆盘 杆及轴为研究对象 画出其受力图 由受力分析看出 在AB杆由铅直位置转至水平位置的整个过程中 作用在质点系上所有外力对z轴之矩为零 即 因此 质点系对z轴的动量矩守恒 例题 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 杆在铅直位置时 只有圆盘对z轴的动量矩 杆在水平位置时 设系统的角速度为 1 系统包含圆盘及杆对z轴的动量矩 系统动量矩守恒 将有关数值代入 12 3刚体绕定轴的转动微分方程 刚体的转动惯量 转动惯量是描述刚体的质量分布的另一个特征量 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量 它等于刚体内各质点的质量与其到转轴的垂直距离平方的乘积之和 转动惯量与质量大小有关 且与质量的分布有关 12 4刚体对轴的转动惯量 若刚体的质量是连续分布的 刚体的转动惯量公式 转动惯量的量纲是 在国际单位制中 它的单位为千克 米2 m2 刚体对z轴的转动惯量也可用另一形式来表示 设刚体的总质量为M 则 rz称为刚体对轴的回转半径或惯性半径 12 4刚体对轴的转动惯量 回转半径的物理意义为 若将物体的质量集中在以为半径 为对称轴的细圆环上 则转动惯量不变 等截面的均质细长杆杆AB长为l 质量为m 该杆对于 1 通过质心O且与杆垂直的y轴的转动惯量 2 与y轴相平行的y 轴的转动惯量 解 设坐标系Oxy的x轴沿着杆的轴线 该杆线密度 单位长度的质量 m l 则单元体dx的质量dm dx 于是 12 4刚体对轴的转动惯量 简单形状的均质刚体转动惯量的计算 2 圆板对其直径轴的转动惯量图中厚度相等的均质薄圆板的半径为R 质量为m 解 首先 将圆板分成无数同心的单元圆环 则单元圆环的质量 单元圆环对于中心的转动惯量是 12 4刚体对轴的转动惯量 转动惯量的平行轴定理 转动惯量的平行轴定理 刚体对任一轴的转动惯量 等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量 加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积 即 分别以O C两点为原点 建立直角坐标系 则 12 4刚体对轴的转动惯量 注意到Cxy的坐标原点与质心C重合 通过质心轴的转动惯量最小 12 4刚体对轴的转动惯量 当物体由几个简单几何形状的物体组成时 计算整体的转动惯量时 可先分别计算每一简单几何形体对同一轴的转动惯量 然后求和即可 如果物体有空心部分 可把这部分的质量视为负值来处理 12 4刚体对轴的转动惯量 应用平行轴定理 有 解 摆对于水平轴的转动惯量即细长杆的转动惯量和圆盘的转动惯量 例钟摆简化模型如图 已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为M1和M2 杆长为l 圆盘直径为d 求摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量IO 12 4刚体对轴的转动惯量 12 4刚体对轴的转动惯量 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 质系对于固定点O的动量矩与相对于质心C的动量矩之间的关系 质系对于固定点O的矩为 建立以质心C为原点的平移坐标系 有 代入质点系对固定点的动量矩定理得 质点系相对于随质心平移坐标系的相对动量矩对时间的一阶导数 等于质点系的外力对质心之矩的矢量和 这就是相对于质心的动量矩定理 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 质系在相对动坐标系的运动中对质心的动量矩与在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系 建立以质心C为原点的平移坐标系 有 质系在绝对运动中对质心的动量矩 等于质系在相对质心平动系的运动中对质心的动量矩 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 质系相对质心的动量矩定理 在相对随质心平动坐标系的运动中 质系对质心的动量矩对于时间的一阶导数 等于外力系对质心的主矩 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 如将质系的运动分解为跟随质心的平动和相对质心的运动 则可分别用质心运动定理和相对质心动量矩定理来建立这两种运动与外力系的关系 质系相对质心的运动只与外力系对质心的主矩有关 而与内力无关 当外力系相对质心的主矩为零时 质系相对质心的动量矩守恒 讨论 12 5质点系相对于质心的动量矩定理 12 6刚体平面运动微分方程 刚体的平面运动 分解为跟随质心的平动和相对质心的转动 刚体在相对运动中对质心的动量矩 应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得刚体平面运动微分方程 例图中均质轮的圆筒上缠一绳索 并作用一水平方向的力200N 轮和圆筒的总质量为50kg 对其质心的回转半径为70mm 已知轮与水平面间的静 动摩擦系数分别为f 0 20和f 0 15 求轮心O的加速度和轮的角加速度 解 假设轮子作纯滚动 受力图中F为静滑动摩擦力 轮心的加速度为a 角加速度为 由于滚动而不滑动 有 即 建立圆轮的平面运动方程 得 12 6刚体平面运动微分方程 补充方程式为 解出 轮子不可能只滚不滑 12 6刚体平面运动微分方程 考虑轮子又滚又滑的情形 圆轮受力分析如图 在有滑动的情况下 动滑动摩擦力为 而质心加速度a和角加速度 是两个独立的未知量 列平面运动方程为 力的补充方程为 联立解得 例题 12 6刚体平面运动微分方程 例均质细杆AB长2l 质量为m B端搁在光滑水平地板上 A端靠在光滑墙壁上 A B均在垂直于墙壁的同一铅直平面内 初瞬时