大一高数第一章 ppt课件

有关要求 1 作业每周交一次 每周五交 由各班学习委员收齐后放到教师休息室 作业情况及到课情况均计入期末总评成绩 2 学习过程中碰到的问题 可在课间提问 或者通过纸条 Email将问题给我 我会尽快回答 wangzhaoyanfen 机动目录上页下页返回结束 引言 一 什么是高等数学 初等数学 研究对象为常量 以静止观点研究问题 高等数学 研究对象为变量 运动和辩证法进入了数学 数学中的转折点是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 恩格斯 二 如何学习高等数学 1 认识高等数学的重要性 培养浓厚的学习兴趣 2 学数学最好的方式是做数学 聪明在于学习 天才在于积累 学而优则用 学而优则创 由薄到厚 由厚到薄 马克思 恩格斯 要辨证而又唯物地了解自然 就必须熟悉数学 一门科学 只有当它成功地运用数学时 才能达到真正完善的地步 华罗庚 1 微分 当很小时 切线纵坐标的增量 即 由此可知微分的一个重要应用是 近似计算 2 定积分问题举例 曲边梯形的面积如何求 设曲边梯形是由连续曲线 和x轴 以及两直线 所围成 求其面积A 矩形面积 梯形面积 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 解决步骤 1 分割 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 近似 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3 求和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 第一章 一元函数 函数 高等数学研究的主要对象 第一章 二 集合与数集 三 一元函数的定义 一 常量与变量 第一节 函数概念 四 函数的几种特性 一 常量与变量 常量 在考察过程中值不发生化的量 是初等数学讨论的主要对象 常用a b c等字母表示 变量 在考察过程中值发生化的量 是高等数学主要研究的对象 常用字母x y z等表示 元素a属于集合M 记作 元素a不属于集合M 记作 二 集合与数集 1 集合 定义1 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 组成集合的事物称为元素 不含任何元素的集合称为空集 记作 注 M为数集 表示M中排除0的集 表示M中排除0与负数的集 表示法 1 列举法 按某种方式列出集合中的全体元素 例 有限集合 自然数集 2 描述法 x所具有的特征 例 整数集合 或 有理数集 p与q互质 实数集合 x为有理数或无理数 集合的直积 笛卡儿乘积 特例 为平面上的全体点集 高等数学的基础是实数理论 1 实数与数轴上的点一一对应 2 实数是连续的 有理数不连续 3 任何两个有理数之间必存在无理数 任何两个无理数之间也必存在有理数 开区间 闭区间 2 区间 数轴上一段连续的 点 所构成的数集 半开区间 无限 穷 区间 设d是一正数 则称开区间 a d a d 为点a的d邻域 记作d a d 即U a d x a d x a d x x a d 其中点a称为邻域的中心 d称为邻域的半径 3 邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域 记作U a 去心邻域 左 邻域 右 邻域 三 一元函数的定义 我们熟悉如下公式或方程 圆周长公式 L 2pr r 0 圆面积公式 S pr2 r 0 自由落体的速度公式 V gt t 0 直线方程 y ax b x 抛物线方程 y x a 2 b x 双曲线方程 xy 1 x 0 它们的共同点是至少有两个变量 当一个变量在给定的范围内取得一个定值后 可以通过公式或方程确定出另一个变量的值 引例 定义1 1设x和y是两个变量 D是一个非空数集 若有确定的法则f 使对于每一个数x D 总有变量y的一个确定的数值与之对应 则称变量y是变量x的函数 记作y f x x称作自变量 y称作因变量 D称作函数y f x 的定义域 函数的定义 函数y f x 中的 f 表示的是一个对应规则 即对每一个x D按规则f有一个确定的y值与之对应 对应规则也常用y j h g F等表示 此时函数就记作y x j x h x g x F x 等 当x取遍D的每一个数值 对应的函数值的全体 y y f x x D 称为函数y f x 的值域 记作f D 对应规则 值域 定义域 例如 反正弦函数 定义域 使表达式及实际问题都有意义的自变量集合 定义域 值域 又如 绝对值函数 定义域 值域 定义域和对应法则是函数关系的两个要素 在平面直角坐标系中 取自变量在横轴上变化 因变量在纵轴上变化 则平面点集 x y y f x x D 称为函数y f x 的图形 函数的图形 函数y x2 1的图形 常用的函数表示法有公式法 解析 表格法和图形法 1 公式法 用数学公式表示因变量与自变量之间的对应法则 此表表示了毛线的零售量s随月份t而变化的函数关系 它的定义域为D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 例2 某城市一年里各月毛线的零售量 单位 百公斤 如下表所示 表格法 将自变量和因变量的一些对应值用表格列出来 常用的函数表示法有公式法 表格法和图形法 例3 某河道的一个断面图形如下 其深度y与一岸边0到测量点的距离x之间的对应关系由图中的曲线所示 这里深度y是测距x的函数关系是用图形表示的 它的定义域为D 0 b 图像法 用函数的图像表示自变量和因变量间的关系 常用的函数表示法有公式法 表格法和图形法 这三种表示方法各有优缺点 有些函数 对于其定义域内自变量x的不同的值 不能用一个统一的数学表达式表示 而要用两个或两个以上的式子表示 这类函数称为 分段函数 当x 0 时 y x 当x 0 时 y x 这是定义域在 上的分段函数 当x 0 时 y x 1 当x 0时 y 0 当x 0 时 y x 1 这是定义在 上的分段函数 例6 用分段函数表示函数y 3 x 1 解 当x 1时 x 1 x 1 当x 1时 x 1 x 1 因此 注意 分段函数是一个函数 它只是在定义域的不同范围内具有不同的对应法则 例7 已知函数 求 及 解 函数无定义 并写出定义域及值域 定义域 值域 有些函数 它的因变量是用自变量表达式表示出来的 称为显函数 显函数举例 有些函数它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程F x y 0表示的 称为隐函数 隐函数举例 xy 1 x2 y2 r2 Ax By C 0 四 函数的几种特性 1 有界性设函数y f x 在数集X上有定义 如果存在M 0 使对任意x X 都有 f x M 则称函数f x 是X上的有界函数 否则称函数f x 在X上无界 举例 函数y sinx在 内是有界的 因为对任何实数x有 sinx 1 在 1 上是有界的 注意 函数是否有界离不开自变量的取值范围 2 单调性设函数f x 在区间I上有定义 x1和x2为I中任意两点 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调增加 如果当x1 x2时 总有f x1 f x2 则称函数f x 在区间I上单调减少 单调增加函数的图形是沿x轴正向逐渐上升的 单调减少函数的图形是沿x轴正向逐渐下降的 3 奇偶性设函数f x 的定义域D关于原点对称 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为偶函数 如果对任意x D 有f x f x 则称f x 为奇函数 偶函数的图形对称于y轴 奇函数的图形对称于原点 说明 1 定义域关于原点不对称的函数一定是非奇非偶函数 2 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 结论 1 两个偶函数的和或积还是偶函数 2 两个奇函数的和是奇函数 积是偶函数 一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数 和是非奇非偶函数 4 常值函数是偶函数 解 因为 例8 判断的奇偶性 所以是奇函数 4 周期性 则称 为周期函数 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 第一章 二 复合函数 一 反函数 第二节 反函数和复合函数 一 反函数 销售量x是销售收益y的函数 我们称上述两个函数为互为反函数 设某种商品销售总收益为y 销售量为x 已知该商品的单价a 则销售总收益是x的函数 y ax 反过来 对每一个给定的销售总收益y 则可以由y ax确定出销售量x 定义1 2 反函数 设函数y f x 的定义域为D 值域为Z 如果对于每个y Z 都存在唯一x D 使f x y 则x是一个定义在Z上的函数 记为x f 1 y y Z 称为y f x x D 的反函数 函数y f x 与函数x f 1 y 是互为反函数 思考 函数y f x 与函数x f 1 y 的图像是什么关系 习惯上 我们将x f 1 y 改写为以x为自变量 以y因变量的函数y f 1 x 这时我们说y f 1 x 是y f x 的反函数 因为x与y互换 所以它们的图形是对称于直线y x 一个函数如果有反函数 它必定是一一对应的函数关系 严格单调函数必存在反函数 且原函数与反函数的单调性相同 例如 在 内 y x2不是一一对应的函数关系 所以它没有反函数 而在 0 内y x2有反函数 在 0 内 y x2有反函数 二 复合函数 定义1 8 复合函数 设函数y f u 的定义域为Df 函数u g x 的值域为Zg 若Zg Df F 则y f g x 确定一个以x为自变量 y为因变量的函数 称为y f u 与u g x 复合而成的复合函数 u称为中间变量 例1 设y f u lgu u g x 1 sin2x 因为u g x 的值域Zg 1 2 y f u 的定义域Df 0 Zg Df F 所以y lg 1 sin2x 是复合函数 例2 设y f u arcsinu u g x 2 x2 因为u g x 的值域Zg 2 y f u 的定义域Df 1 1 Zg Df F 所以y arcsin 2 x2 不是复合函数 解 三个函数复合而成 2 令0 x a 1 得 a x 1 a 所以f x a 的定义域为 a 1 a 例5 设f x 的定义域为 0 1 问 1 f x2 2 f x a a 0 的定义域各是什么 解 1 令0 x2 1 得 1 x 1 所以f x2 的定义域为 1 1 第一章 二 初等函数 一 基本函数 第三节 初等函数 三 非初等函数的例子 四 应用问题举例 一 基本初等函数 下列函数称为基本初等函数 常值函数 y c 幂函数 y xa a为任何实数 指数函数 y ax a 0 a 1 对数函数 y logax a 0 a 1 三角函数 y sinx y cosx y tanx y cotx y secx y cscx 反三角函数 y arcsinx y arccosx y arctanx y arccotx y arcsecx y arccscx 1 常值函数 y c 它的定义域是 图形为平行于x轴截距为c的直线 2 幂函数 y xa a为任何实数 它的定义域随a而异 但不论a为何值 xa在 0 内总有定义 而且图形都经过 1 1 点 常用的幂函数有 3 指数函数 y ax a 0 a 1 它的定义域为 值域为 0 都通过 0 1 点 当a 1时 函数单调增加 当0 a 1时 函数单调减少 指数函数举例 4 对数函数 y logax a 0 a 1 它的定义域为 0 都通过 1 0 点 当a 1时 函数单调增加 当0 a 1时 函数单调减少 对数函数与指数函数互为反函数 常用公式 x elnx x 0 lnxa alnx x 0 lnx y lnx lny x 0 y 0 指数函数举例 5 三角函数 y sinx y cosx y tanx y cotx y secx y cscx y sinx与y cosx的定义域均为 均以2 为周期 因为sin x sinx 所以y sinx为奇函数 因为cos x cosx 所以y cosx为偶函数 又因 sinx 1 cosx 1所以它们都是有界函数 y tanx以 为周期 是奇函数 是无界函数 y tanx的定义域是 6 反三角函数 常用的反三角函数有y arcsinx y arccosx y arctanx y arccotx 它们都是多值函数 我们按下列区间取其一段 称为主值分支 分别记作 二 初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算构成 并且能用一个式子表示的函数 称为初等函数 注意 分段函数一般不是初等函数 比如 是初等函数 它由函数 复合而成 是初等函数 因为 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 即 表示不超过的最大整数 三 非初等函数举例 例1 求 的反函数及其定义域 解 当 时 则 当 时 则 当 时 则 反函数 定义域为 例2 有一工厂A与铁路的垂直距离为a公里 它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里 工厂的产品必须经火车站C才能转销外地 已知汽车运费是m元 吨公里 火车运费是n元 吨公里 m n 为节省运费 想在铁路上修一转运站M 试将运费表为距离 BM 的函数 其定义域为 0 b 根据题意 有 解 设 BM x 运费为y 四 应用问