第九章 行列式、矩阵与线性方程组.ppt

第九章行列式 矩阵与线性方程组 第一节行列式与克莱姆法则n元线性方程组 注 m个方程 n个未知数 m与n可以相等 也可以不相等 未知数 x1 x2 xn系数 a11 a12 amn常数 b1 b2 bm第i个方程的未知数xj的系数 aij i 1 2 m j 1 2 n 一二阶行列式与克莱姆法则设二元线性方程组为 1 定义二阶行列式为 令称D为系数行列式 解二元线性方程组的克莱姆法则 若二元线性方程组 1 的系数行列式则方程组 1 的解为 例1计算下列各行列式 1 2 例2用行列式解线性方程组 下面讨论二阶行列式的性质 定义的转置行列式为性质1二阶行列式D与它的转置行列式的值相等 即 性质2如果行列式的某一列的每一个元素都是二项式 则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应列 而其余的列不变的两个行列式的和 例如如果性质2中的 列 换成 行 性质仍然成立 仿此 以下各行列式的性质关于 行 也有相应的性质 性质3如果行列式D的某一列 行 的每一个元素都乘以一个常数k 则行列式的值为kD 例如 性质4如果互换行列式的两列 行 则行列式变号 例如 例3利用行列式的性质计算下列行列式 1 2 二n阶行列式与克莱姆法则定义设阶行列式已经定义 规定n阶行列式 n阶行列式按第一行的展开式 见上述定义 元素 主对角线 在行列式中从左上角到右下角的对角线主对角元 位于主对角线上的元素元素的余子式Dij 在n阶行列式中划去元素aij所在的第i行和第j列上的所有元素后形成的阶行列式元素的代数余子式 例4计算例5计算 例6计算下三角行列式 设n阶行列式为则它的转置行列式定义为 例如 行列式的转置行列式是 性质1行列式D与它的转置行列式的值相等 例7证明 上三角行列式 性质2如果行列式的某一列的每一个元素都是二项式 则此行列式等于把这些二项式各取一项作相应的列 而其余的列不变的两个行列式的和 例如 由性质1知 性质2关于行列式的 行 也成立 以下类似的地方就不重申了 性质3如果把行列式D的某一列 行 的每一个元素同乘以一个常数k 则此行列式的值等于kD 例如 性质4如果把行列式的某两列 或两行 对调 则所得行列式与原行列式的绝对值相等 符号相反 推论如果行列式的某两列 或两行 的对应元素相同 则此行列式的值等于零 性质5如果行列式的某两列 或两行 的对应元素成比例 则此行列式的值等于零 注 行列式的两列对应元素成比例 是指 存在一个常数k 使 例8计算 性质6如果把行列式的某一列 行 的每一个元素加上另一列 行 对应元素的k倍 则所得行列式的值相等 例如 行列式计算过程中的标记方法 1以r代表行 c代表列2把第i行 或第i列 的每一个元素加上第j行 或第j列 对应元素的k倍 记作 或 3互换第i行 列 和第j行 列 记作 或 例9计算 例10计算 性质7行列式D等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 行列式按第i行的展开式 行列式按第j列的展开式 推论行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式乘积之和等于零 即证 事实上 上式左端相当于将行列式按第i行展开后 又将第i行元素换成了第j行元素 得到了一个新的行列式 而新行列式有两行 第i行与第j行 元素对应相等 根据性质4的推论即知本推论成立 证毕 例11按第三行展开计算行列式 例12计算 下面讨论克莱姆法则 设n元n个方程的线性方程组为其系数行列式为 将系数行列式D中第j列的元素依次改换为b1 b2 bn 得到的行列式记为Dj