高数二期末复习1ppt课件

第七章向量与空间解几 例1 解 即 上页下页返回结束 外一点 求 例2设 解一设平面法向量为 在平面上任取一点 是平面 到平面的距离d 则P0到平面的距离为 点到平面的距离公式 上页下页返回结束 例3直线 上页下页返回结束 过点P 1 2 3 且垂直于已知平面 求此直线的方程 解此直线的方向向量即为 于是所求直线方程为 第八章多元函数微分学 1求隐函数的一阶偏导数与全微分 上页下页返回结束 2曲面上求一点 使该点处的切平面平行于已知平面 3求二元函数的驻点 一 二元方程确定一元隐函数 定理1 设函数 则 1 方程 一个单值连续可导函数y f x 隐函数求导公式 1 有连续的偏导数 的某邻域内可唯一确定 在 的某邻域内满足 2 3 满足条件 2 上页下页返回结束 定理2 若三元函数 的某邻域内有连续偏导数 则 1 方程 在 2 唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数z f x y 上述求导公式推导过程如下 满足 1 在点 满足 2 3 的某邻域内可 上页下页返回结束 二 三元方程确定二元隐函数 两边对x求偏导 同理可得 则 上页下页返回结束 例1 设 解一利用隐函数求导法则 再对x求导 上页下页返回结束 解二利用隐函数求导公式 设 则 两边对x求偏导 上页下页返回结束 例2 设F x y 有连续偏导数 解一利用隐函数求导公式 所确定的隐函数 则 已知方程 故 上页下页返回结束 解 切平面方程为 法线方程为 例3 求旋转抛物面 在点 处的切平面以及法线方程 上页下页返回结束 法向量 解 则切平面方程为 依题意 切平面方程平行于已知平面 得 上页下页返回结束 平行于平面 的切平面方程 例4 求曲面 设为曲面上的切点 因为是曲面上的点 所求切点为 其坐标满足曲面 切平面方程为 或 上页下页返回结束 的方程 由此得 上求一点 使该点处的法线垂 例5 在曲面 并写出该法线方程 提示设所求点为 则法线方程为 利用 得 垂直于平面 法线垂直于平面 点在曲面上 上页下页返回结束 小结 1 隐函数存在定理 2 隐函数求导方法 方法1 套公式 方法2 利用复合函数求导法则直接计算 方法3 利用微分形式不变性 练习 6设 求 上页下页返回结束 解利用全微分形式不变性 由dx的系数可得 上页下页返回结束 等式 两端微分 得 类似可求得 时 有极值 定理2 充分条件 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数 且 令 则1 当 A 0时取极大值 A 0时取极小值 2 当 3 当 时 没有极值 时 不能确定 需另行讨论 若 上页下页返回结束 驻点 三 二元函数的极值 上页下页返回结束 求函数 极值的一般步骤 第一步 解方程组 得驻点 第二步 对每一个驻点 第三步 由 的符号 判定是否取得极值 计算极值点处的函数值 得函数的极值 判别式 例1 求 解第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 解方程组 的极值 求二阶偏导数 上页下页返回结束 判别式 为极小值 上页下页返回结束 列表讨论 驻点 A f x y 1 0 1 2 3 0 3 2 72 72 12 72 72 12 极小值 无极值 无极值 极大值 为极大值 第九章重积分 1改变二次积分次序 上页下页返回结束 2设 3二重积分的计算 直角坐标 极坐标 求 4三重积分的计算 柱面坐标法 截面法 解 上页下页返回结束 解 积分区域如图 上页下页返回结束 看作Y 型区域 D 0 y 1 0 x 1 y 例3 交换下列积分顺序 解积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 上页下页返回结束 例4 计算 解在极坐标系下 故 上页下页返回结束 其中D是由圆周 与 以及直线y 0 和y x在第一象限所围成的区域 3 解在极坐标系下 例5 计算 其中 原式 故 上页下页返回结束 的原函数不是初等函数 故例5无法 注1 因 用直角坐标计算 例6 求球体 被柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解坐标面将立体分为四个部分 由对称性可知 上页下页返回结束 三 三重积分的计算 1 利用直角坐标计算三重积分 方法1 投影法 先一后二 方法3 截面法 先二后一 方法2 三次积分法 上页下页返回结束 其中 为三张 例1 计算三重积分 所围成的闭区域 解一 坐标面与平面 上页下页返回结束 x y inD D 解二 上页下页返回结束 投影区域 因此 例2 设 计算 解先一后二 再利用定积分关于积分区间的对称性和被积函数的奇偶性 得 原式 奇函数 上页下页返回结束 另解因为积分区域关于xOy坐标面对称 且被积函数关于z为奇函数 因此 原式 0 辅导与测试P90 截面法 上页下页返回结束 先确定积分区域 中z坐标的变化范围 则 再作截面 得 先二后一 例3 计算三重积分 解 用 先二后一 上页下页返回结束 2 利用柱面坐标计算三重积分 为点M的柱面坐标 直角坐标与柱面坐标的关系 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 上页下页返回结束 称 在柱面坐标系中体积元素为 因此 适用范围 1 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 2 被积函数用柱面坐标表示时变量能被分离 上页下页返回结束 其中 例4 计算三重积分 解在柱面坐标系下 及