一元二次方程的解法 (2).docx

一元二次方程的解法例析【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法0时有解，0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法0时，方程有解；0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或， 当时，原方程为，即，解得. 当时，原方程为，即， 解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）； （2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的1210，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）（注意不要丢解）由得，由得，原方程的解为：，（2）由得，由得原方程的解为：，（3） ，原方程的解为：，（4），即，原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二次项系数化为1，移常数项得：，配方得：，即直接开平方得：，原方程的解为：，（2）二次项系数化为1，移常数项得：方程两边都加上一次项系数一半的平方得：即直接开平方得：，原方程的解为：，说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。例4：用公式法解下列方程。（1）；（2）分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当0时，把各项系数的值代入求根公式即可得到方程的根。但要注意当0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出判别式的值，判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。解：（1），化为一般式：求出判别式的值：0代入求根公式：，（2）化为一般式：求出判别式的值：0，说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。例5：用分解因式法解下列方程。（1）；（2）分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。解：（1）左边分解成两个因式的积得：于是可得：，（2）化简变为一般式得：左边分解成两个因式的积得：于是可得：，说明：使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。例6：选用恰当的方法解下列方程。（1）；c（3）； （4）分析：第（1）题可变形为，而后利用直接开平方法较为简便；第（2）题移项后利用分解因式法较为简便；第（3）题化为一般式后可利用求根公式法解答；第（4）题采取配方法较为简便。解：（1）整理得：直接开平方得：，（2）分解因式得：，（3）整理得：求出判别式的值：0，（4）配方得：直接开平方得：，总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。【附训练典题】1、用直接开平方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.2、用配方法解下列方程：（1）； （2）；（3）；（4）.3、用公式法解下列方程：（1）； （2）；（3）；（4）.4、用因式分解法解下列方程：（1）；（2）；（3）； （4）. 5、选用适当的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（8）一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练安徽省利辛县教育局督导室夏飞对于一元二次方程，当判别式时，其求根公式为：；若两根为，当0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解：方程（1）有两个不相等的实数根， 解得； 方程（2）没有实数根， 解得； 于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是 其中，的整数值有或 当时，方程（1）为，无整数根； 当时，方程（1）为，有整数根。解得： 所以，使方程（1）有整数根的的整数值是。说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。二、判别一元二次方程两根的符号。例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式，但只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。解：，42(7)650 方程有两个不相等的实数根。设方程的两个根为， 0原方程有两个异号的实数根。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。例2：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。解法一：把代入原方程，得：即解得当时，原方程均可化为：，解得：方程的另一个根为4，的值为3或1。解法二：设方程的另一个根为，根据题意，利用韦达定理得：，把代入，可得：把代入，可得：，即解得方程的另一个根为4，的值为3或1。 说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。解：方程有两个实数根， 解这个不等式，得0 设方程两根为则，整理得：解得：又，说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由，解：因为关于的一元二次方程有两个非零实数根，则有 又、是方程的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，可得： 假设、同号，则有两种可能： （1） （2）若， 则有： ；即有：解这个不等式组，得时方程才有实树根，此种情况不成立。 若 ， 则有：即有：解这个不等式组，得；又，当时，两根能同号 说明：一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。六、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：已知、是方程的两个实数根，求的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 解法一：由于是方程的实数根，所以设，与相加，得：）（变形目的是构造和）根据根与系数的关系，有：，于是，得：=0解法二：由于、是方程的实数根， 说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。七、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。解：设两方程的相同根为， 根据根的意义， 有 两式相减，得 当时， ，方程的判别式 方程无实数解 当时， 有实数解 代入原方程，得， 所以 于是，两方程至少有一个相同的实数根，4个实数根的相乘积为 说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，两方程相同，方程的另一根也相同，所以4个根的相乘积为：；（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件： 且另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。3、已知关于的方程的两根为，且，则。4、已知是方程的两个根，那么： ； ； 。5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。答案与提示：一、填空题：1、提示：，解得：2、提示：，由韦达定理得：，解得：，代入检验，有意义，。3、提示：由于韦达定理得：，解得：。4、提示：由韦达定理得：，；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：设