高考数学大一轮复习 第六章 数列 6_3 等比数列及其前n项和课件 文 北师大版

6 3等比数列及其前n项和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 一般地 如果一个数列 那么这个数列叫作等比数列 这个常数叫作等比数列的 通常用字母表示 q 0 1 等比数列的定义 知识梳理 2 等比数列的通项公式 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 从第2项起 每一项与它的前一项的比都等于同 一个常数 公比 q a1 qn 1 a1 0 q 0 如果在a与b中插入一个数G 使得a G b成等比数列 那么根据等比数列的定义 G 我们称G为a b的等比中项 3 等比中项 4 等比数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m N 2 若 an 为等比数列 且k l m n k l m n N 则 G2 ab qn m ak al am an 5 等比数列的前n项和公式 6 等比数列前n项和的性质公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 其公比为 qn 等比数列 an 的单调性 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 满足an 1 qan n N q为常数 的数列 an 为等比数列 2 G为a b的等比中项 G2 ab 3 如果数列 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 1 教材改编 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 则公比q等于 考点自测 答案 解析 2 2016 南昌一模 若等比数列 an 的各项均为正数 前4项的和为9 积为 则前4项倒数的和为 答案 解析 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 3 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3 S4 15 则S6等于A 31B 32C 63D 64 答案 解析 根据题意知 等比数列 an 的公比不是 1 由等比数列的性质 得 S4 S2 2 S2 S6 S4 即122 3 S6 15 解得S6 63 故选C 4 教材改编 在9与243中间插入两个数 使它们同这两个数成等比数列 则这两个数为 答案 解析 27 81 设该数列的公比为q 由题意知 243 9 q3 q3 27 q 3 插入的两个数分别为9 3 27 27 3 81 答案 解析 11 设等比数列 an 的公比为q 8a2 a5 0 8a1q a1q4 0 q3 8 0 q 2 题型分类深度剖析 题型一等比数列基本量的运算 例1 1 2015 课标全国 已知等比数列 an 满足a1 a3a5 4 a4 1 则a2等于 答案 解析 由 an 为等比数列 得a3a5 又a3a5 4 a4 1 所以 4 a4 1 解得a4 2 设等比数列 an 的公比为q 则由a4 a1q3 得2 q3 解得q 2 所以a2 a1q 故选C 答案 解析 2n 1 思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 跟踪训练1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前n项和 已知a2a4 1 S3 7 则S5等于 答案 解析 2 2015 湖南 设Sn为等比数列 an 的前n项和 若a1 1 且3S1 2S2 S3成等差数列 则an 答案 解析 3n 1 由3S1 2S2 S3成等差数列知 4S2 3S1 S3 可得a3 3a2 所以公比q 3 故等比数列通项an a1qn 1 3n 1 题型二等比数列的判定与证明 例2设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 1 求a2 a3的值 解答 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 1时 a1 2 1 2 当n 2时 a1 2a2 a1 a2 4 a2 4 当n 3时 a1 2a2 3a3 2 a1 a2 a3 6 a3 8 综上 a2 4 a3 8 2 求证 数列 Sn 2 是等比数列 证明 a1 2a2 3a3 nan n 1 Sn 2n n N 当n 2时 a1 2a2 3a3 n 1 an 1 n 2 Sn 1 2 n 1 得nan n 1 Sn n 2 Sn 1 2 n Sn Sn 1 Sn 2Sn 1 2 nan Sn 2Sn 1 2 Sn 2Sn 1 2 0 即Sn 2Sn 1 2 Sn 2 2 Sn 1 2 S1 2 4 0 Sn 1 2 0 故 Sn 2 是以4为首项 2为公比的等比数列 思维升华 1 证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于选择题 填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 证明 跟踪训练2已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 1 证明 an 是等比数列 并求 an 的通项公式 证明 题型三等比数列性质的应用 例3 1 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则lna1 lna2 lna20 答案 解析 50 因为a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以lna1 lna2 lna20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10lne5 50lne 50 答案 解析 方法一 S6 S3 1 2 an 的公比q 1 S3 S6 S3 S9 S6也成等比数列 即 S6 S3 2 S3 S9 S6 思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 1 通项公式的变形 2 等比中项的变形 3 前n项和公式的变形 根据题目条件 认真分析 发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口 答案 解析 跟踪训练3 1 已知在等比数列 an 中 a1a4 10 则数列 lgan 的前4项和等于A 4B 3C 2D 1 前4项和S4 lga1 lga2 lga3 lga4 lg a1a2a3a4 又 等比数列 an 中 a2a3 a1a4 10 S4 lg100 2 2 设等比数列 an 中 前n项和为Sn 已知S3 8 S6 7 则a7 a8 a9等于 答案 解析 因为a7 a8 a9 S9 S6 且公比不等于 1 在等比数列中 S3 S6 S3 S9 S6也成等比数列 即8 1 S9 S6成等比数列 所以有8 S9 S6 1 2 S9 S6 即a7 a8 a9 分类讨论思想在等比数列中的应用 思想与方法系列13 1 利用等差数列的性质求出等比数列的公比 写出通项公式 2 求出前n项和 根据函数的单调性证明 规范解答 思想方法指导 1 解设等比数列 an 的公比为q 因为 2S2 S3 4S4成等差数列 所以S3 2S2 4S4 S3 即S4 S3 S2 S4 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 等比数列x 3x 3 6x 6 的第四项等于A 24B 0C 12D 24 答案 解析 由x 3x 3 6x 6成等比数列 得 3x 3 2 x 6x 6 解得x1 3或x2 1 不合题意 舍去 故数列的第四项为 24 2 2016 珠海模拟 在等比数列 an 中 若a1 0 a2 18 a4 8 则公比q等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在正项等比数列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 则n等于A 12B 13C 14D 15 答案 解析 因此q3n 6 81 34 q36 所以n 14 故选C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 昆明模拟 在等比数列 an 中 若a3 a7是方程x2 4x 2 0的两根 则a5的值是 答案 解析 根据根与系数之间的关系得a3 a7 4 a3a7 2 由a3 a7 40 所以a3 0 a7 0 即a5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其意思为 有一个人走378里路 第一天健步行走 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了6天后到达目的地 请问第二天走了A 192里B 96里C 48里D 24里 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即第二天走了96里 故选B 6 2016 铜仁质检 在由正数组成的等比数列 an 中 若a3a4a5 3 则sin log3a1 log3a2 log3a7 的值为 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 设Sn为等比数列 an 的前n项和 已知3S3 a4 2 3S2 a3 2 则公比q 答案 解析 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 设各项都是正数的等比数列 an Sn为前n项和且S10 10 S30 70 那么S40 答案 解析 150 依题意 知数列 an 的公比q 1 数列S10 S20 S10 S30 S20 S40 S30成等比数列 因此有 S20 S10 2 S10 S30 S20 即 S20 10 2 10 70 S20 故S20 20或S20 30 又S20 0 因此S20 30 S20 S10 20 S30 S20 40 故S40 S30 80 S40 150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 已知数列 an 的前n项和为Sn 且满足an Sn 1 n N 则通项an 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1024 a4 b1b2b3 an b1b2b3 bn 1 a21 b1b2b3 b20 b10b11 10 210 1024 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知 an 是等差数列 满足a1 3 a4 12 数列 bn 满足b1 4 b4 20 且 bn an 是等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设等差数列的公差为d 所以an a1 n 1 d 3n n N 设等比数列 bn an 的公比为q 所以bn an b1 a1 qn 1 2n 1 从而bn 3n 2n 1 n N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求数列 bn 的前n项和 解答 由 1 知bn 3n 2n 1 n N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 全国丙卷 已知各项都为正数的数列 an 满足a1 1 2an 1 1 an 2an 1 0 1 求a2 a3 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求 an 的通项公式 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 2016 昆明一检 已知等比数列 an 的前n项和是Sn S18 S9 7 8 1 求证 S3 S9 S6依次成等差数列 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1