《高等代数》行列式.ppt

第三章行列式 3 1线性方程组和行列式 3 2排列 3 3n阶行列式 3 4子式和代数余子式行列式依行 列 展开 3 5克拉默法则 课外学习6 行列式计算方法课外学习7 q 行列式及其性质 能够作出数学发现的人 是具有感受数学中的秩序 和谐 对称 整齐和神秘美等能力的人 而且只限于这种人 庞加莱 Poincare 1854 1921 一个数学家 如果他不在某种程度上成为一个诗人 那么他就永远不可能成为一个完美的数学家 外尔斯特拉斯 Weierstrass 1815 1897 3 1线性方程组和行列式 一 内容分布3 1 1二阶 三阶行列式的计算 对角线法则 3 1 2行列式在线性方程组中的应用二 教学目的 1 了解二阶 三阶行列式的定义 2 会利用对角线法则计算二阶 三阶行列式 三 重点难点 利用对角线法则计算二阶 三阶行列式 3 1 1二阶 三阶行列式的计算 对角线法则 二阶行列式 我们用记号 表示代数和 称为二阶行列式 即 三阶行列式 我们用记号 表示代数和 称为三阶行列式 即 主对角线法 三元素乘积取 号 三元素乘积取 号 3 1 2行列式在线性方程组中的应用 1 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组 1 它的系数作成的二阶行列式 那么方程组 1 有解 2 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组 2 他的系数作成的三阶行列式 那么方程组 2 有解 这里 我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式 然后利用这一工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组 例题选讲 解 由阶行列式的定义有 3 2排列 一 内容分布3 2 1排列 反序与对换3 2 2奇 偶排列的定义及性质二 教学目的了解排列 反序 对换的定义三 重点难点求反序数 3 2 1排列 反序与对换 例如 1234 2314都是四个数码的排列 n个数码的不同排列共有n 个 例如 1 2 3这三个数码的全体不同的排列一共有3 6个 它们是 123 132 231 213 312 321 定义2在一个排列里 如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面 就说这两个数码构成一个反序 一个排列的反序数可能是偶数也可能是奇数 有偶数个反序的排列叫做一个偶排列 有奇数个反序的排列叫做奇排列 3 2 2奇 偶排列的定义及性质 定义3看n个数码的一个排列 如果把这个排列里的任意两个数码i与j交换一下 而其余数码保持不动 那么就得到一个新的排列 对于排列所施行的这样一个变换叫做一个对换 并且用符号 i j 来表示 定理3 2 2任意一个排列经过一个对换后的奇偶性改变 证明 我们首先看一个特殊的情形 就是被对换的两个数码是相邻的 设给定的排列为 AB AB 1 2 但 2 正是对 1 施行对换而得到的排列 因此 对 1 施行对换相当于连续施行2s 1次相邻数码的对换 由1 每经过一次相邻两数码的对换 排列都改变奇偶性 由于2s 1是一个奇数 所以 1 与 2 的奇偶性相反 证明 设n个数码的奇排列共有p个 而偶排列共有q个 对这p个奇排列施行同一个对换 那么由定理3 2 2 我们得到p个偶排列 由于对这p个偶排列各不相等 又可以得到原来的p个奇排列 所以这p个偶排列各不相等 但我们一共只有q个偶排列 所以 例题选讲 3 3n阶行列式 一 内容分布3 3 1n阶行列式的定义3 3 2行列式的性质二 教学目的 1 掌握和理解n阶行列式的定义 2 会利用定义计算一些特殊的行列式 3 掌握和理解行列式的性质 4 熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧 三 重点难点 利用定义计算行列式利用性质熟练计算及证明行列式 3 3 1n阶行列式的定义 称为n阶行列式 其中 横排列称为行 纵排列称为列 1 考察位于 1 的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积 这种乘积可以写成下面的形式 2 定义2用符号 表示的n阶行列式指的是n 项的代数和 这些项是一切可能的取自 1 的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积 例1我们看一个四阶行列式 根据定义 D是一个4 24项的代数和 然而在这个行列式里 除了acfh adeh bdeg bcfg这四项外 其余的项都至少含有一个因子0 因而等于0 与上面四项对应的排列依次是1234 1324 4321 4231 其中第一个和第三个是偶排列 第二个和第四个是奇排列 因此 转置 一个n阶行列式 如果把D的行变为列 就得到一个新的行列式 叫D的转置行列式 3 这n个数码的排列 那么这一项在行列式中的符号是 3 3 2行列式的性质 命题3 3 2行列式与它的转置行列式相等 即 命题3 3 3交换一个行列式的两行 或两列 行列式改变符号 证设给定行列式 交换D的第i行与第j行得 旁边的i和j表示行的序数 D的每一项可以写成 5 因为这一项的元素位于的不同的行与不同的列 所以它也是的一项 反过来 的每一项也是D的一项 并且D的不同项对应着的不同项 因此D与含有相同的项 交换行列式两列的情形 可以利用命题3 3 2归结到交换两行的情形 由命题3 3 2推知 凡是行列式的对于行成立的性质对于列也成立 反过来也是如此 推论3 3 4如果一个行列式有两行 列 完全相同 那么这个行列式等于零 证设行列式D的第i行与第j行 i j 相同 由命题3 3 3 交换这两行后 行列式改变符号 所以新的行列式等于 D 但另一方面 交换相同的两行 行列式并没有改变由此得D D或2D 0 所以D 0 命题3 3 5用数k乘行列式的某一行 列 等于以数k乘此行列式 即如果设 则 D的每一项可以写作 6 中对应的项可以写作 7 6 在D中的符号与 7 在中的符号都是 因此 推论3 3 6如果行列式的某一行 列 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边 推论3 3 7如果行列式的某一行 列 的元素全部是零 那么这个行列式等于零 推论3 3 8如果行列式有两行 列 的对应元素成比例 则行列式的值等于零 证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例 那么这两行的对应元素只差一个因子k 即 因此 由推论3 3 6 可以把公因子k提到行列式符号的外边 于是得到一个有两行完全相同的行列式 由推论3 3 4 这个行列式等于零 命题3 3 9如果将行列式中的某一行 列 的每一个元素都写成两个数的和 则此行列式可以写成两个行列式的和 这两个行列式分别以这两个数为所在行 列 对应位置的元素 其它位置的元素与原行列式相同 即如果 则 行列式 因此 推论如果将行列式的某一行 列 的每个元素都写成m个数 m为大于2的整数 的和 则此行列式可以写成m个行列式的和 命题3 3 10将行列式的某一行 列 的所有元素同乘以数k后加于另一行 列 对应位置的元素上 行列式的值不变 证设给定行列式 把D的第j行的元素乘以同一个数k后 加到第i行的对应元素上 我们得到行列式 的第i行与第j列成比例 由命题3 3 9 此处 所以 由推论3 3 8 例2计算行列式 解 根据例题3 3 10 从D的第二列和第三列的元素减去第一列的对应元素 即把D的第一列的元素同乘以 后 加到第二列和第三列的对应元素上 得 这个行列式有两列成比例 所以根据推论3 3 8 D 0 例3计算n阶行列式 解 我们看到 D的每一列的元素的和都是n 把第二 第三 第n行都加到第一行上 得 根据推论 提出第一行的公因子n 得 由第二 第三 第n行减去第一行 得 由行列式定义 易见后一行列式等于对角线上元素的乘积 所以 练习选讲 3 4子式和代数余子式行列式依行 列 展开 一 内容分布3 4 1子式和代数余子式3 4 2行列式的依行依列展开定理3 4 3拉普拉斯定理二 教学目的 1 掌握和理解子式和代数余子式的定义2 熟练掌握利用行列式的依行依列展开定理计算及证明行列式的技巧 三 重点难点 利用行列式的依行依列展开定理熟练计算及证明行列式 3 4 1 余子式与代数余子式 定义1在一个n阶行列式D中任意取定k行和k列 位于这些行列相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式 例1在四阶行列式 中 取定第二行和第三行 第一列和第四列 那么位于这些行列的相交处的元素就构成D的一个二阶子式 定义2n n 1 阶行列式 例2例1的四阶行列式的元素的余子式是 例3例1中的四阶行列式D的元素的代数余子式 定理3 4 1若在一个n阶行列式 中 第i行 或第j列 的元素除外都是零 那么这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 证我们只对行来证明这个定理 1 先假定D和第一行的元素除外都是0 这时 我们要证明 也就是说 子式的每一项都可以写作 1 2 现在我们来看一般的情形 设 我们变动行列式D的行列 使位于第一行与第一列 并且保持的余子式不变 为了达到这一目的 我们把D的第i行依次与第i 1 i 2 2 1行交换 这样 一共经过了i 1次交换两行的步骤 我们就把D的第i行换到第一行的位置 然后再把第j列依次与第j 1 j 2 2 1列交换 一共经过了j 1次交换两列的步骤 就被交换到第一行与第一列的位置上 这时 D变为下面形式的行列式 是由D经过 i 1 j 1 次换行换列的步骤而得到的 由命题3 3 3 交换行列式的两行或两列 行列式改变符号 因此 这样 定理得到证明 3 4 2行列式的依行依列展开 定理3 4 2n阶行列式等于它的任意一行 列 的各元素与其对应代数余子式乘积的和 即 证我们只对行来证明 即证明 3 先把行列式D写成以下形式 也就是说 把D的第i行的每一元素写成n项的和 根据命题3 3 9 D等于n个行列式的和 在这n个行列式的每一个中 除了第i行外 其余的行都与D的相应行相同 因此 每一行列式的第i行的元素的代数余子式与D的第i行的对应元素的代数余子式相同 这样 由定理3 4 1 定理3 4 3n阶行列式的某一行 列 的元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即 5 6 证我们只证明等式 5 看行列式 的第i行与第j行完全相同 所以 0 另一方面 与D仅有第j行不同 因此的第j行的元素的代数余子式与D的第j行的对应元素的代数余子式相同 把依第j行展开 得 因而 例4计算四阶行列式 在这个行列式里 第三行已有一个元素是零 由第一列减去第三列的二倍 再把第三列加到第四列上 得 根据定理3 4 1 把所得的三阶行列式的第一行加到第二行 得 所以D 40 例5计算n阶行列式 按第一行展开 得 但 所以 由最后一行开始 每一行减去它的相邻的前一行乘以 得 例6计算四阶行列式 这个行列式叫做一个n阶范德蒙德 Vandermonde 行列式 由定理3 4 1 提取每列的公因子后 得 最后的因子是一个n 1阶的范德蒙德行列式 我们用代表它 同样得 此处是一个n 2阶的范德蒙德行列式 如此继续下去 最后得 练习题 3 5克拉默法则 一 内容分布3 5 1齐次与非齐次线性方程组的概念3 5 2克莱姆法则3 5 3齐次线性方程组解的定理二 教学目的 1 掌握和理解齐次与非齐次线性方程组的概念 2 熟练掌握克莱姆法则 3熟练掌握齐次线性方程组解的定理三 重点难点 利用克莱姆法则求线性方程组的解及证明一些相关问题 3 5 1 齐次与非齐次线性方程组的概念 含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为 1 9 它的系数构成的行列式 1 10 称为方程组 1 9 的系数行列式 如果线性方程组 1 9 的常数项为零 即 称为齐次线性方程组 3 5 2 克莱姆法则 定理3 5 1 克莱姆法则 线性方程组 1 9 当其系数行列式时 有且仅有唯一解 此处是将系数行列式中第j列的元素对应地换为方程组的常数项后得到的n阶行列式 证时是显然的 设 令是整数1 2 中的任意一个 分别以乘方程组 1 的第一 第二 第个方程 然后相加 得 由定理3 4 2和3 4 3 的系数等于D而的系数都是零 因此等式左端等于 而等式右端刚好是阶行列式 这样 我们得到 令我们得到方程组 3 方程组 1 的每一解都是方程组 3 的解 事实上 设是方程组 1 的一个解 那么在 1 中把代以 就得到一组等式 对于这一组等式施以由方程组 1 到方程组 3 的变换 显然得到下面的一组等式 这就是说 也是方程组 3 的一解 当时 方程组 3 有唯